ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 662 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пусть последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия. Является ли геометрической прогрессией последовательность, которая получится, если:

а) к каждому члену последовательности $(b_n)$ прибавить одно и то же не равное нулю число;

б) каждый член последовательности $(b_n)$ умножить на одно и то же не равное нулю число?

а) Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1};$
$b_{n+1} = b_1 \cdot q^{n+1-1} = b_1 \cdot q^n;$

1) Рассмотрим последовательность $(c_n)$, члены которой равны сумме соответствующих членов последовательности $(b_n)$ и некоторого числа $x$:
$c_n = b_n + x = b_1 \cdot q^{n-1} + x;$
$c_{n+1} = b_{n+1} + x = b_1 \cdot q^n + x;$
$q = \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_1 \cdot q^n + x}{b_1 \cdot q^{n-1} + x};$

2) Отношение между соседними членами последовательности не постоянно, значит она не является геометрической прогрессией;

Ответ: не является.

б) Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1};$
$b_{n+1} = b_1 \cdot q^{n+1-1} = b_1 \cdot q^n;$

1) Рассмотрим последовательность $(c_n)$, члены которой равны произведению соответствующих членов последовательности $(b_n)$ и некоторого числа $x$:
$c_n = b_n \cdot x = x b_1 \cdot q^{n-1};$
$c_{n+1} = b_{n+1} \cdot x = x b_1 \cdot q^n;$
$q = \frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{x b_1 \cdot q^n}{x b_1 \cdot q^{n-1}} = q^{n-n+1} = q;$

2) Отношение между соседними членами последовательности постоянно, значит она является геометрической прогрессией;

Ответ: является.

а) Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$:

1) Геометрическая прогрессия определяется формулой для $n$-го члена:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — знаменатель прогрессии (постоянное отношение между соседними членами). Переходя к следующему члену:

$$b_{n+1} = b_1 \cdot q^{(n+1)-1} = b_1 \cdot q^n$$

2) Теперь рассмотрим новую последовательность $(c_n)$, члены которой образуются сложением каждого члена последовательности $(b_n)$ с некоторым числом $x$:

$$c_n = b_n + x = b_1 \cdot q^{n-1} + x$$

Для следующего члена:

$$c_{n+1} = b_{n+1} + x = b_1 \cdot q^n + x$$

Теперь вычислим отношение между двумя соседними членами последовательности $(c_n)$. Это отношение будет равно:

$$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_1 \cdot q^n + x}{b_1 \cdot q^{n-1} + x}$$

Мы видим, что это отношение зависит от значения $x$, а значит оно не будет постоянным. Отношение будет изменяться с увеличением $n$, потому что добавление постоянного числа $x$ влияет на числитель и знаменатель, и оба они содержат это число, которое изменяет общий результат.

Таким образом, последовательность $(c_n)$ не является геометрической прогрессией, потому что отношение между соседними членами не постоянно.

Ответ: не является.

б) Пусть дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q$:

1) Определим последовательность $(c_n)$, члены которой равны произведению каждого члена последовательности $(b_n)$ и некоторого числа $x$:

$$c_n = b_n \cdot x = x b_1 \cdot q^{n-1}$$

Для следующего члена:

$$c_{n+1} = b_{n+1} \cdot x = x b_1 \cdot q^n$$

2) Рассмотрим отношение между двумя соседними членами последовательности $(c_n)$. Это отношение:

$$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{x b_1 \cdot q^n}{x b_1 \cdot q^{n-1}} = \frac{b_1 \cdot q^n}{b_1 \cdot q^{n-1}} = q^{n-n+1} = q$$

Мы видим, что отношение между соседними членами этой последовательности равно $q$, которое является постоянным, независимо от значения $n$.

Поскольку отношение между соседними членами последовательности $(c_n)$ остаётся постоянным и равно $q$, то последовательность является геометрической прогрессией с тем же знаменателем $q$.

Ответ: является.