ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 661 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Является ли арифметической или геометрической прогрессией последовательность:
а) $x; \, x^2; \, x^3; \, x^4; \, x^5; \, \ldots$, где $x \neq 0$;

б) $x; \, x + 1; \, x + 2; \, x + 3; \, x + 4; \, \ldots$;

в) $x; \, 2x; \, 3x; \, 4x; \, 5x; \, \ldots$;

г) $x; \, ax; \, a^2x; \, a^3x; \, a^4x; \, \ldots$, где $x \neq 0$ и $a \neq 0$?

а) $x; \, x^2; \, x^3; \, x^4; \, x^5; \, \ldots \quad x \neq 0$;

$b_n = x^n$ и $b_{n+1} = x^{n+1}$;

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{x^{n+1}}{x^n} = x^{n+1-n} = x$;

Отношение между соседними членами постоянно, значит последовательность является геометрической прогрессией;

б) $x; \, x + 1; \, x + 2; \, x + 3; \, x + 4; \, \ldots$;

$b_n = x + (n — 1)$;

$b_{n+1} = x + (n — 1 + 1) = x + n$;

$d = b_{n+1} — b_n = x + n — x — n + 1 = 1$;

Разность между соседними членами постоянна, значит последовательность является арифметической прогрессией;

в) $x; \, 2x; \, 3x; \, 4x; \, 5x; \, \ldots$;

$b_n = nx$;

$b_{n+1} = (n + 1)x = nx + x$;

$d = b_{n+1} — b_n = nx + x — nx = x$;

Разность между соседними членами постоянна, значит последовательность является арифметической прогрессией;

г) $x; \, ax; \, a^2x; \, a^3x; \, a^4x; \, \ldots \quad x \neq 0$ и $a \neq 0$;

$b_n = a^{n-1} \cdot x$;

$b_{n+1} = a^{n+1-1} \cdot x = a^n \cdot x$;

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a^n \cdot x}{a^{n-1} \cdot x} = a^{n-(n-1)} = a$;

Отношение между соседними членами постоянно, значит последовательность является геометрической прогрессией.

а) $x; \, x^2; \, x^3; \, x^4; \, x^5; \, \ldots \quad x \neq 0$:

Определим $b_n = x^n$, где $n$ — это номер члена прогрессии. Таким образом, $b_n$ — это $n$-й член последовательности. Например, $b_1 = x$, $b_2 = x^2$, $b_3 = x^3$, и так далее.

Рассмотрим отношение между двумя соседними членами прогрессии. Для этого вычислим $\frac{b_{n+1}}{b_n}$, где $b_{n+1} = x^{n+1}$, а $b_n = x^n$:

$$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{x^{n+1}}{x^n} = x^{n+1-n} = x.$$

Мы видим, что отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = x$ остается постоянным для всех $n$. Это означает, что отношение между любыми двумя соседними членами прогрессии всегда одинаково и равно $x$.

Поскольку отношение между соседними членами постоянное, это подтверждает, что последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = x$ и общим отношением $q = x$.

б) $x; \, x + 1; \, x + 2; \, x + 3; \, x + 4; \, \ldots$:

Определим $b_n = x + (n — 1)$, где $n$ — это номер члена прогрессии. Например, для $n = 1$, $b_1 = x$, для $n = 2$, $b_2 = x + 1$, для $n = 3$, $b_3 = x + 2$, и так далее.

Рассмотрим разность между двумя соседними членами прогрессии. Для этого вычислим $b_{n+1} — b_n$, где $b_{n+1} = x + n$ и $b_n = x + (n — 1)$:

$$b_{n+1} — b_n = (x + n) — (x + (n — 1)) = x + n — x — n + 1 = 1.$$

Мы видим, что разность между любыми двумя соседними членами последовательности всегда равна 1, что является постоянной разностью.

Поскольку разность между соседними членами постоянная, это подтверждает, что последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $b_1 = x$ и разностью $d = 1$.

в) $x; \, 2x; \, 3x; \, 4x; \, 5x; \, \ldots$:

Определим $b_n = nx$, где $n$ — это номер члена прогрессии. Таким образом, для $n = 1$, $b_1 = x$, для $n = 2$, $b_2 = 2x$, для $n = 3$, $b_3 = 3x$, и так далее.

Рассмотрим разность между двумя соседними членами прогрессии. Для этого вычислим $b_{n+1} — b_n$, где $b_{n+1} = (n+1)x$ и $b_n = nx$:

$$b_{n+1} — b_n = (n+1)x — nx = nx + x — nx = x.$$

Мы видим, что разность между любыми двумя соседними членами последовательности всегда равна $x$, что является постоянной разностью.

Поскольку разность между соседними членами постоянная, это подтверждает, что последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $b_1 = x$ и разностью $d = x$.

г) $x; \, ax; \, a^2x; \, a^3x; \, a^4x; \, \ldots \quad x \neq 0$ и $a \neq 0$:

Определим $b_n = a^{n-1} \cdot x$, где $n$ — это номер члена прогрессии. Например, для $n = 1$, $b_1 = x$, для $n = 2$, $b_2 = ax$, для $n = 3$, $b_3 = a^2x$, и так далее.

Рассмотрим отношение между двумя соседними членами прогрессии. Для этого вычислим $\frac{b_{n+1}}{b_n}$, где $b_{n+1} = a^n \cdot x$ и $b_n = a^{n-1} \cdot x$:

$$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a^n \cdot x}{a^{n-1} \cdot x} = a^{n-(n-1)} = a.$$

Мы видим, что отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = a$ остается постоянным для всех $n$. Это означает, что отношение между любыми двумя соседними членами прогрессии всегда одинаково и равно $a$.

Поскольку отношение между соседними членами постоянное, это подтверждает, что последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $b_1 = x$ и общим отношением $q = a$.