ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 660 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Между числами 3 и 27 вставьте три числа так, чтобы вместе с данными они образовывали геометрическую прогрессию.
б) Между числами 0,2 и 12,8 вставьте два числа так, чтобы вместе с данными числами они образовывали геометрическую прогрессию.

а) Пусть $b_1 = 3$ и $b_5 = 27$, тогда:

$b_5 = b_1 \cdot q^4$;

$q^4 = \frac{b_5}{b_1} = \frac{27}{3} = 9$;

$q = \sqrt[4]{9} = \pm \sqrt{3}$;

$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot (\pm \sqrt{3}) = \pm 3\sqrt{3}$;

$b_3 = b_2 \cdot q = \pm 3\sqrt{3} \cdot (\pm \sqrt{3}) = 3 \cdot 3 = 9$;

$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot (\pm \sqrt{3}) = \pm 9\sqrt{3}$;

Имеем две последовательности:

$3; \, 3\sqrt{3}; \, 9; \, 9\sqrt{3}; \, 27$ или $3; \, -3\sqrt{3}; \, 9; \, -9\sqrt{3}; \, 27$.

б) Пусть $b_1 = 0.2$ и $b_4 = 12.8$, тогда:

$b_4 = b_1 \cdot q^3$;

$q^3 = \frac{b_4}{b_1} = \frac{12.8}{0.2} = \frac{128}{2} = 64$;

$q = \sqrt[3]{64} = 4$;

$b_2 = b_1 \cdot q = 0.2 \cdot 4 = 0.8$;

$b_3 = b_2 \cdot q = 0.8 \cdot 4 = 3.2$;

Имеем последовательность: $0.2; \, 0.8; \, 3.2; \, 12.8; \ldots$.

а) Пусть $b_1 = 3$ и $b_5 = 27$. Задача заключается в нахождении отношения $q$, которое является общим множителем геометрической прогрессии. Для этого воспользуемся формулой для $b_n$ геометрической прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

Подставим значения для $n = 5$:

$$b_5 = b_1 \cdot q^4$$

Теперь подставим известные значения $b_5 = 27$ и $b_1 = 3$:

$$27 = 3 \cdot q^4$$

Решим для $q^4$:

$$q^4 = \frac{27}{3} = 9$$

Теперь найдем $q$, извлекая корень четвертой степени из 9:

$$q = \sqrt[4]{9} = \pm \sqrt{3}$$

Таким образом, значение $q$ может быть либо $\sqrt{3}$, либо $-\sqrt{3}$.

Теперь вычислим члены прогрессии. Для $b_2$, используя формулу для $b_n$, получаем:

$$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot (\pm \sqrt{3}) = \pm 3\sqrt{3}$$

Для $b_3$:

$$b_3 = b_2 \cdot q = \pm 3\sqrt{3} \cdot (\pm \sqrt{3}) = 3 \cdot 3 = 9$$

Для $b_4$:

$$b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot (\pm \sqrt{3}) = \pm 9\sqrt{3}$$

Итак, имеем две возможные последовательности:

$$3; \, 3\sqrt{3}; \, 9; \, 9\sqrt{3}; \, 27$$

или

$$3; \, -3\sqrt{3}; \, 9; \, -9\sqrt{3}; \, 27$$

б) Пусть $b_1 = 0.2$ и $b_4 = 12.8$. Следуя аналогичной логике, найдем отношение прогрессии $q$ для данной ситуации. Используем формулу для $b_n$:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

Для $b_4$ получаем:

$$b_4 = b_1 \cdot q^3$$

Подставим известные значения $b_4 = 12.8$ и $b_1 = 0.2$:

$$12.8 = 0.2 \cdot q^3$$

Решим для $q^3$:

$$q^3 = \frac{12.8}{0.2} = \frac{128}{2} = 64$$

Теперь найдем $q$, извлекая кубический корень из 64:

$$q = \sqrt[3]{64} = 4$$

Теперь вычислим члены прогрессии. Для $b_2$:

$$b_2 = b_1 \cdot q = 0.2 \cdot 4 = 0.8$$

Для $b_3$:

$$b_3 = b_2 \cdot q = 0.8 \cdot 4 = 3.2$$

Таким образом, получаем последовательность:

$$0.2; \, 0.8; \, 3.2; \, 12.8; \ldots$$