ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 659 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Найдите знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если известны два её члена: $b_3={10}^7$ и $b_5={10}^5$. Восстановите прогрессию с первого по пятый член включительно. Сколько решений у вас получилось?

б) Известны два члена геометрической прогрессии $(c_n)$: $c_4=-48$ и $c_8=-768$. Выпишите все её члены с первого по шестой. Сколько решений у вас получилось?

а) $b_3={10}^7$ и $b_5={10}^5$:
$b_3=b_1\cdot q^2$, отсюда $b_1=\frac{b_3}{q^2}$;
$b_5=b_1\cdot q^4$, отсюда $b_1=\frac{b_5}{q^4}$;
$\frac{b_3}{q^2}=\frac{b_5}{q^4}\Rightarrow \frac{q^4}{q^2}=\frac{b_5}{b_3}$;
$q^2=\frac{{10}^5}{{10}^7}=\frac{1}{{10}^2}$;
$q=\sqrt{\frac{1}{{10}^2}}=\pm \frac{1}{10}=\pm 0.1$;
$b_1={10}^7:{(\pm \frac{1}{10})}^2={10}^7:\frac{1}{{10}^2}={10}^7\cdot {10}^2={10}^9$;
$b_2=b_1\cdot q={10}^9\cdot (\pm \frac{1}{10})=\pm {10}^8$;
$b_3=b_2\cdot q=\pm {10}^8\cdot (\pm \frac{1}{10})={10}^7$;
$b_4=b_3\cdot q={10}^7\cdot (\pm \frac{1}{10})=\pm {10}^6$;
$b_5=b_4\cdot q=\pm {10}^6\cdot (\pm \frac{1}{10})={10}^5$;
Имеем две последовательности:
${10}^9;{10}^8;{10}^7;{10}^6;{10}^5;\dots$ или ${10}^9;-{10}^8;{10}^7;-{10}^6;{10}^5;\dots$
Ответ: $q=\pm 0.1$.

б) $c_4=-48$ и $c_8=-768$:
$c_4=c_1\cdot q^3$, отсюда $c_1=\frac{c_4}{q^3}$;
$c_8=c_1\cdot q^7$, отсюда $c_1=\frac{c_8}{q^7}$;
$\frac{c_4}{q^3}=\frac{c_8}{q^7}\Rightarrow \frac{q^7}{q^3}=\frac{c_8}{c_4}$;
$q^4=\frac{-768}{-48}=16$;
$q=\sqrt[4]{16}=\pm 2$;
$c_1=\frac{-48}{(\pm 2{)}^3}=\frac{-48}{\pm 8}=\mp 6$;
$c_2=c_1\cdot q=\mp 6\cdot (\pm 2)=-12$;
$c_3=c_2\cdot q=-12\cdot (\pm 2)=\mp 24$;
$c_4=c_3\cdot q=\mp 24\cdot (\pm 2)=-48$;
$c_5=c_4\cdot q=-48\cdot (\pm 2)=\mp 96$;
$c_6=c_5\cdot q=\mp 96\cdot (\pm 2)=-192$;
Имеем две последовательности:
$-6;-12;-24;-48;-96;-192;\dots$ или $6;-12;24;-48;96;-192;\dots$
Ответ: $q=\pm 2$.

а) Геометрическая прогрессия $(b_n)$:

Даны два члена прогрессии $b_3={10}^7$ и $b_5={10}^5$. Нужно найти знаменатель прогрессии $q$ и восстановить прогрессию с первого по пятый член.

Мы знаем, что каждый член геометрической прогрессии выражается через первый член и знаменатель прогрессии. Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$

Для двух данных членов $b_3$ и $b_5$ можно записать следующие равенства:

$$b_3=b_1\cdot q^2$$$$b_5=b_1\cdot q^4$$

Теперь, разделив одно равенство на другое, получаем:

$$\frac{b_3}{b_5}=\frac{b_1\cdot q^2}{b_1\cdot q^4}=\frac{q^2}{q^4}=\frac{1}{q^2}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{{10}^7}{{10}^5}=\frac{1}{q^2}$$$${10}^2=\frac{1}{q^2}$$$$q^2=\frac{1}{{10}^2}=\frac{1}{100}$$

Теперь находим $q$:

$$q=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}$$

Знаменатель прогрессии $q=0.1$.

Теперь, чтобы восстановить прогрессию, используем формулу для $n$-го члена:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$

Для нахождения $b_1$, подставим $b_3$ и $q$ в формулу:

$$b_3=b_1\cdot q^2$$

$$$$$${10}^7=b_1\cdot (0.1{)}^2$$

$$$$$${10}^7=b_1\cdot 0.01$$

$$$$$$b_1=\frac{{10}^7}{0.01}={10}^9$$

Теперь можно найти все члены прогрессии с первого по пятый:

$$b_1={10}^9$$$$b_2=b_1\cdot q={10}^9\cdot 0.1={10}^8$$$$b_3=b_1\cdot q^2={10}^9\cdot 0.01={10}^7$$$$b_4=b_1\cdot q^3={10}^9\cdot 0.001={10}^6$$$$b_5=b_1\cdot q^4={10}^9\cdot 0.0001={10}^5$$

Ответ:

$$q=0.1$$

Последовательность:

$${10}^9;{10}^8;{10}^7;{10}^6;{10}^5;\dots$$

б) Геометрическая прогрессия $(c_n)$:

Даны два члена прогрессии $c_4=-48$ и $c_8=-768$. Нужно найти все члены прогрессии с первого по шестой.

Мы снова используем формулу для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$c_n=c_1\cdot q^{n-1}$$

Для данных членов $c_4$ и $c_8$ можно записать:

$$c_4=c_1\cdot q^3$$$$c_8=c_1\cdot q^7$$

Теперь разделим одно равенство на другое:

$$\frac{c_4}{c_8}=\frac{c_1\cdot q^3}{c_1\cdot q^7}=\frac{q^3}{q^7}=\frac{1}{q^4}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{-48}{-768}=\frac{1}{q^4}$$$$\frac{1}{16}=\frac{1}{q^4}$$$$q^4=16$$

Теперь находим $q$:

$$q=\sqrt[4]{16}=2$$

Теперь, чтобы найти первый член $c_1$, подставим $c_4$ и $q$ в формулу:

$$c_4=c_1\cdot q^3$$$$-48=c_1\cdot 2^3$$$$-48=c_1\cdot 8$$$$c_1=\frac{-48}{8}=-6$$

Теперь можно найти все члены прогрессии с первого по шестой:

$$c_1=-6$$$$c_2=c_1\cdot q=-6\cdot 2=-12$$$$c_3=c_2\cdot q=-12\cdot 2=-24$$$$c_4=c_3\cdot q=-24\cdot 2=-48$$$$c_5=c_4\cdot q=-48\cdot 2=-96$$$$c_6=c_5\cdot q=-96\cdot 2=-192$$

Ответ:

$$q=2$$

$-6;-12;-24;-48;-96;-192;\dots$ или $6;-12;24;-48;96;-192;\dots$
Ответ: $q=\pm 2$.