ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 658 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Известны два члена геометрической прогрессии $(y_n)$: $y_3 = 25$ и $y_6 = -3125$. Найдите знаменатель прогрессии $q$ и выпишите все её члены с первого по шестой.

б) Известны два члена геометрической прогрессии $(b_n)$: $b_2 = 10$ и $b_5 = 10^{-2}$. Выпишите все члены этой прогрессии с первого по пятый включительно.

а) $y_3 = 25$ и $y_6 = -3125$:

$$y_3=y_1\cdot q^2,\text{отсюда}{y}_1=\frac{y_3}{q^2};$$

$$y_3 = y_1 \cdot q^2, \quad \text{отсюда} \quad y_1 = \frac{y_3}{q^2};$$ $$y_6=y_1\cdot q^5,\text{отсюда}{y}_1=\frac{y_6}{q^5};$$

$$y_6 = y_1 \cdot q^5, \quad \text{отсюда} \quad y_1 = \frac{y_6}{q^5};$$ $$\frac{y_3}{q^2}=\frac{y_6}{q^5}\Rightarrow \frac{q^5}{q^2}=\frac{y_6}{y_3};$$

$$\frac{y_3}{q^2} = \frac{y_6}{q^5} \Rightarrow \frac{q^5}{q^2} = \frac{y_6}{y_3};$$ $$q^3=\frac{-3125}{25}=-125;$$

$$q^3 = \frac{-3125}{25} = -125;$$ $$q=\sqrt[3]{-125}=-5;$$

$$q = \sqrt[3]{-125} = -5;$$ $$y_1=\frac{25}{(-5{)}^2}=\frac{25}{25}=1;$$

$$y_1 = \frac{25}{(-5)^2} = \frac{25}{25} = 1;$$ $$y_2=y_1\cdot q=1\cdot (-5)=-5;$$

$$y_2 = y_1 \cdot q = 1 \cdot (-5) = -5;$$ $$y_3=y_2\cdot q=-5\cdot (-5)=25;$$

$$y_3 = y_2 \cdot q = -5 \cdot (-5) = 25;$$ $$y_4=y_3\cdot q=25\cdot (-5)=-125;$$

$$y_4 = y_3 \cdot q = 25 \cdot (-5) = -125;$$ $$y_5=y_4\cdot q=-125\cdot (-5)=625;$$

$$y_5 = y_4 \cdot q = -125 \cdot (-5) = 625;$$ $$y_6 = y_5 \cdot q = 625 \cdot (-5) = -3125;$$

Все члены с первого по шестой:

$$1; -5; 25; -125; 625; -3125; \ldots$$

Ответ: $q = -5$.

б) $b_2 = 10$ и $b_5 = 10^{-2}$:

$$b_2=b_1\cdot q,\text{отсюда}{b}_1=\frac{b_2}{q};$$

$$b_2 = b_1 \cdot q, \quad \text{отсюда} \quad b_1 = \frac{b_2}{q};$$ $$b_5=b_1\cdot q^4,\text{отсюда}{b}_1=\frac{b_5}{q^4};$$

$$b_5 = b_1 \cdot q^4, \quad \text{отсюда} \quad b_1 = \frac{b_5}{q^4};$$ $$\frac{b_2}{q}=\frac{b_5}{q^4}\Rightarrow \frac{q^4}{q}=\frac{b_5}{b_2};$$

$$\frac{b_2}{q} = \frac{b_5}{q^4} \Rightarrow \frac{q^4}{q} = \frac{b_5}{b_2};$$ $$q^3=\frac{{10}^{-2}}{10}={10}^{-3};$$

$$q^3 = \frac{10^{-2}}{10} = 10^{-3};$$ $$q = \sqrt[3]{10^{-3}} = 10^{-1} = 0.1;$$ $$b_1=\frac{10}{0.1}=100;$$

$$b_1 = \frac{10}{0.1} = 100;$$ $$b_2=b_1\cdot q=100\cdot 0.1=10;$$

$$b_2 = b_1 \cdot q = 100 \cdot 0.1 = 10;$$ $$b_3=b_2\cdot q=10\cdot 0.1=1;$$

$$b_3 = b_2 \cdot q = 10 \cdot 0.1 = 1;$$ $$b_4=b_3\cdot q=1\cdot 0.1=0.1;$$

$$b_4 = b_3 \cdot q = 1 \cdot 0.1 = 0.1;$$ $$b_5 = b_4 \cdot q = 0.1 \cdot 0.1 = 0.01;$$

Все члены с первого по пятый:

$$100; 10; 1; 0.1; 0.01; \ldots$$

Ответ: $q = 0.1$.

а) В геометрической прогрессии $(y_n)$, где $y_3 = 25$ и $y_6 = -3125$, найдем знаменатель прогрессии $q$ и выпишем все её члены с первого по шестой.

Используем формулу для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$y_n = y_1 \cdot q^{n-1}.$$

Подставим известные значения для $y_3$ и $y_6$:

$$y_3 = y_1 \cdot q^2 \quad \text{и} \quad y_6 = y_1 \cdot q^5.$$

Из этих уравнений выразим $y_1$:

$$y_1 = \frac{y_3}{q^2} \quad \text{и} \quad y_1 = \frac{y_6}{q^5}.$$

Теперь приравняем эти два выражения для $y_1$:

$$\frac{y_3}{q^2} = \frac{y_6}{q^5}.$$

Умножим обе части уравнения на $q^5$ и разделим на $q^2$, чтобы избавиться от степеней $q$:

$$q^3 = \frac{y_6}{y_3}.$$

Подставляем значения для $y_6 = -3125$ и $y_3 = 25$:

$$q^3 = \frac{-3125}{25} = -125.$$

Теперь находим $q$, извлекая кубический корень:

$$q = \sqrt[3]{-125} = -5.$$

Таким образом, знаменатель прогрессии $q = -5$.

Теперь, зная $q = -5$, вычислим члены прогрессии с первого по шестой:

$$y_1=\frac{y_3}{q^2}=\frac{25}{(-5{)}^2}=\frac{25}{25}=1,$$

$$y_1 = \frac{y_3}{q^2} = \frac{25}{(-5)^2} = \frac{25}{25} = 1,$$ $$y_2=y_1\cdot q=1\cdot (-5)=-5,$$

$$y_2 = y_1 \cdot q = 1 \cdot (-5) = -5,$$ $$y_3=y_2\cdot q=-5\cdot (-5)=25,$$

$$y_3 = y_2 \cdot q = -5 \cdot (-5) = 25,$$ $$y_4=y_3\cdot q=25\cdot (-5)=-125,$$

$$y_4 = y_3 \cdot q = 25 \cdot (-5) = -125,$$ $$y_5=y_4\cdot q=-125\cdot (-5)=625,$$

$$y_5 = y_4 \cdot q = -125 \cdot (-5) = 625,$$ $$y_6 = y_5 \cdot q = 625 \cdot (-5) = -3125.$$

Ответ: $q = -5$, члены прогрессии: $1; -5; 25; -125; 625; -3125; \ldots$.

б) В геометрической прогрессии $(b_n)$, где $b_2 = 10$ и $b_5 = 10^{-2}$, найдем первый член прогрессии и выпишем все её члены с первого по пятый.

Используем формулу для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.$$

Подставим известные значения для $b_2$ и $b_5$:

$$b_2 = b_1 \cdot q \quad \text{и} \quad b_5 = b_1 \cdot q^4.$$

Из этих уравнений выразим $b_1$:

$$b_1 = \frac{b_2}{q} \quad \text{и} \quad b_1 = \frac{b_5}{q^4}.$$

Приравниваем два выражения для $b_1$:

$$\frac{b_2}{q} = \frac{b_5}{q^4}.$$

Умножим обе части уравнения на $q^4$ и разделим на $q$:

$$q^3 = \frac{b_5}{b_2}.$$

Подставляем значения для $b_5 = 10^{-2}$ и $b_2 = 10$:

$$q^3 = \frac{10^{-2}}{10} = 10^{-3}.$$

Извлекаем кубический корень:

$$q = \sqrt[3]{10^{-3}} = 10^{-1} = 0.1.$$

Теперь, зная $q = 0.1$, вычислим члены прогрессии с первого по пятый:

$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{10}{0.1}=100,$$

$$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{10}{0.1} = 100,$$ $$b_2=b_1\cdot q=100\cdot 0.1=10,$$

$$b_2 = b_1 \cdot q = 100 \cdot 0.1 = 10,$$ $$b_3=b_2\cdot q=10\cdot 0.1=1,$$

$$b_3 = b_2 \cdot q = 10 \cdot 0.1 = 1,$$ $$b_4=b_3\cdot q=1\cdot 0.1=0.1,$$

$$b_4 = b_3 \cdot q = 1 \cdot 0.1 = 0.1,$$ $$b_5 = b_4 \cdot q = 0.1 \cdot 0.1 = 0.01.$$

Ответ: $q = 0.1$, члены прогрессии: $100; 10; 1; 0.1; 0.01; \ldots$.