ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 657 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) В геометрической прогрессии $(x_n)$ $x_{10} = \frac{1}{243}$, $q = \frac{1}{3}$. Найдите первый член этой прогрессии.

б) В геометрической прогрессии $(b_n)$ $b_{12} = 32$, $q = -2$. Найдите первый член этой прогрессии.

а) $x_{10} = \frac{1}{243}$ и $q = \frac{1}{3}$:

$$x_{10}=x_1\cdot q^9,\text{отсюда}{x}_1=\frac{x_{10}}{q^9};$$

$$x_{10} = x_1 \cdot q^9, \quad \text{отсюда} \quad x_1 = \frac{x_{10}}{q^9};$$ $$x_1 = \frac{\frac{1}{243}}{\left(\frac{1}{3}\right)^9} = \frac{1}{\frac{1}{3^5}} = 3^5 = 243 \cdot \frac{1}{3^5} = 3^4 = 81;$$

б) $b_{12} = 32$ и $q = -2$:

$$b_{12}=b_1\cdot q^{11},\text{отсюда}{b}_1=\frac{b_{12}}{q^{11}};$$

$$b_{12} = b_1 \cdot q^{11}, \quad \text{отсюда} \quad b_1 = \frac{b_{12}}{q^{11}};$$ $$b_1 = \frac{32}{(-2)^{11}} = \frac{32}{-2048} = -\frac{1}{64};$$

а) Для геометрической прогрессии $x_n$, где $x_{10} = \frac{1}{243}$ и $q = \frac{1}{3}$, необходимо найти первый член прогрессии.

Используем формулу для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$x_n = x_1 \cdot q^{n-1}.$$

Для $n = 10$ это будет:

$$x_{10} = x_1 \cdot q^9.$$

Теперь подставим известные значения:

$$\frac{1}{243} = x_1 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^9.$$

Для удобства сделаем замену: $\frac{1}{243} = 3^{-5}$. Теперь имеем:

$$x_1 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^9 = 3^{-5}.$$

Перепишем:

$$x_1 \cdot 3^{-9} = 3^{-5}.$$

Теперь для нахождения $x_1$, умножим обе стороны на $3^9$:

$$x_1 = 3^{4}.$$

Таким образом, $x_1 = 81$.

Ответ: $x_1 = 81$.

б) Для геометрической прогрессии $b_n$, где $b_{12} = 32$ и $q = -2$, нужно найти первый член прогрессии.

Используем ту же формулу для $n$-го члена прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.$$

Для $n = 12$ это будет:

$$b_{12} = b_1 \cdot q^{11}.$$

Подставляем известные значения:

$$32 = b_1 \cdot (-2)^{11}.$$

Рассчитаем $(-2)^{11}$. Поскольку $(-2)^{11} = -2^{11}$, получаем:

$$32 = b_1 \cdot (-2^{11}).$$

Так как $2^{11} = 2048$, у нас:

$$32 = b_1 \cdot (-2048).$$

Теперь разделим обе стороны на $-2048$:

$$b_1 = \frac{32}{-2048} = -\frac{1}{64}.$$

Ответ: $b_1 = -\frac{1}{64}$.