ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 656 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Сторона квадрата равна 12 см. Середины сторон квадрата являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. (рис. 4.15).
а) Площади первого, второго, третьего и т. д. квадратов образуют некоторую последовательность. Объясните, почему эта последовательность является геометрической прогрессией. Назовите несколько её членов. Запишите формулу n-го члена этой последовательности.
б) Запишите несколько членов последовательности, составленной из длин сторон квадратов. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? Запишите формулу n-го члена этой последовательности.

1) Квадраты являются параллелограммами, значит их площадь равна половине произведения диагоналей;

2) Сторона первого квадрата равна $12$ см, значит его площадь:

$$S_1={12}^2=144;$$

3) Диагонали второго квадрата равны сторонам первого, значит его площадь составляет:

$$S_2=\frac{1}{2}\cdot {12}^2=\frac{1}{2}\cdot 144=\frac{1}{2}{S}_1;$$

4) Стороны третьего квадрата равны половине диагоналей второго (как средние линии треугольников, отсекаемых от него диагональю), значит площадь этого квадрата равна:

$$S_3={(\frac{1}{2}\cdot 12)}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 144=\frac{1}{2}{S}_2;$$

5) Для последующих фигур рассуждения аналогичны;

6) Имеем геометрическую прогрессию, в которой:

$$q=\frac{1}{2}\text{и}{S}_1=144;$$$$S_n=S_1\cdot q^{n-1}=144\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=9\cdot 2^4\cdot 2^{1-n}=9\cdot 2^{5-n};$$

б) Сторона квадрата равна квадратному корню из его площади, значит последовательность, составленная из длин сторон квадратов, также является геометрической, в которой:

$$b_1=12\text{и}q=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}};$$$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}=12\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^{n-1}=3\cdot (\sqrt{2}{)}^4\cdot (\sqrt{2}{)}^{1-n}=3\cdot (\sqrt{2}{)}^{5-n};$$

Несколько членов последовательности:

$$b_2=b_1\cdot q=12\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=6\cdot (\sqrt{2}{)}^2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2};$$

$$$$$$b_3=b_2\cdot q=6\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=6;$$

$$$$$$b_4=b_3\cdot q=6\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=3\cdot (\sqrt{2}{)}^2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2};$$

$$$$$$b_5=b_4\cdot q=3\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=3;$$

Все данные четырехугольники являются параллелограммами, значит их площадь равна половине произведения диагоналей.

Пусть стороны первого квадрата равны $x$ и $y$, тогда его площадь составляет:

$$S_1=xy$$

Диагонали второго квадрата (ромба) равны сторонам первого, значит его площадь составляет:

$$S_2=\frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}{S}_1$$

Стороны третьего квадрата равны половине диагоналей второго (как средние линии треугольников, отсекаемых от ромба диагональю), значит его площадь равна:

$$S_3=\left(\frac{1}{2}x\right)\cdot \left(\frac{1}{2}y\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}xy=\frac{1}{2}{S}_2$$

Для последующих фигур рассуждения аналогичны.

Имеем геометрическую прогрессию, в которой:

$$q=\frac{1}{2}\text{и}{S}_n=S_1\cdot q^{n-1}=S_1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$

Подставим $S_1=144$:

$$S_n=144\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$

Теперь получим:

$$S_n=9\cdot 2^4\cdot 2^{1-n}=9\cdot 2^{5-n}$$

б) Сторона квадрата равна квадратному корню из его площади, значит последовательность, составленная из длин сторон квадратов, также является геометрической, в которой:

$$b_1=12\text{и}q=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Теперь запишем формулу для $b_n$:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}=12\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^{n-1}=3\cdot (\sqrt{2}{)}^4\cdot (\sqrt{2}{)}^{1-n}=3\cdot (\sqrt{2}{)}^{5-n}$$

Несколько членов последовательности:

$$b_2=b_1\cdot q=12\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=6\cdot (\sqrt{2}{)}^2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}$$$$b_3=b_2\cdot q=6\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=6$$$$b_4=b_3\cdot q=6\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=3\cdot (\sqrt{2}{)}^2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$$$$b_5=b_4\cdot q=3\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=3$$