ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 655 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Середины сторон прямоугольника соединили отрезками и получили ромб. Середины сторон ромба соединили отрезками и получили прямоугольник и т. д. (рис. 4.14). Чему равно отношение площадей двух соседних фигур (последующей и предыдущей)?

а) Какой фигурой — прямоугольником или ромбом — является восьмой по счёту четырёхугольник? Если его площадь равна $\frac{3}{4}$ см$^2$, то чему равна площадь исходного прямоугольника?

1) Все данные четырехугольники являются параллелограммами, значит их площадь равна половине произведения диагоналей;

2) Пусть стороны первого прямоугольника равны $x$ и $y$, тогда его площадь составляет:

$$S_1 = xy;$$

3) Диагонали второго параллелограмма (ромба) равны сторонам первого, значит его площадь составляет:

$$S_2 = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}S_1;$$

4) Стороны третьего параллелограмма (прямоугольника) равны половине диагоналей второго (как средние линии треугольников, отсекаемых от ромба диагональю), значит его площадь равна:

$$S_3 = \left(\frac{1}{2}x\right) \cdot \left(\frac{1}{2}y\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}S_2;$$

5) Для последующих фигур рассуждения аналогичны;

6) Имеем геометрическую прогрессию, в которой:

$$q = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad S_n = S_1 \cdot q^{n-1} = S_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1};$$

а) Восьмой по счёту фигурой является ромб (четный номер):

$$S_8 = S_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = \frac{3}{4};$$ $$\frac{S_1}{2^7} = \frac{3}{4}, \quad \text{отсюда} \quad S_1 = \frac{3}{2^2} \cdot 2^7 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96 \quad \text{(см}^2\text{)};$$

б) Номер четырехугольника, площадь которого равна 6 см$^2$:

$$b_n=96\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=6;$$

$$b_n = 96 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 6;$$ $$\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{6}{96};$$

$$\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{6}{96};$$ $$\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{16};$$

$$\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1}{16};$$ $$\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^4};$$

$$\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1}{2^4};$$ $$n-1=4;$$

$$n — 1 = 4;$$ $$n = 4 + 1 = 5;$$

Номер фигуры нечётный, значит она является прямоугольником;

Ответ: пятого; прямоугольник.

Все данные четырехугольники являются параллелограммами, значит их площадь равна половине произведения диагоналей;

Пусть стороны первого прямоугольника равны $x$ и $y$, тогда его площадь составляет:

$$S_1 = xy;$$

Диагонали второго параллелограмма (ромба) равны сторонам первого, значит его площадь составляет:

$$S_2 = \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}S_1;$$

Стороны третьего параллелограмма (прямоугольника) равны половине диагоналей второго (как средние линии треугольников, отсекаемых от ромба диагональю), значит его площадь равна:

$$S_3 = \left(\frac{1}{2}x\right) \cdot \left(\frac{1}{2}y\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}xy = \frac{1}{2}S_2;$$

Для последующих фигур рассуждения аналогичны;

Имеем геометрическую прогрессию, в которой:

$$q = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad S_n = S_1 \cdot q^{n-1} = S_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1};$$

а) Восьмой по счёту фигурой является ромб (четный номер):

$$S_8 = S_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = \frac{3}{4};$$ $$\frac{S_1}{2^7} = \frac{3}{4}, \quad \text{отсюда} \quad S_1 = \frac{3}{2^2} \cdot 2^7 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96 \quad \text{(см}^2\text{)};$$

б) Номер четырехугольника, площадь которого равна 6 см$^2$:

$$b_n=96\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=6;$$

$$b_n = 96 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 6;$$ $$\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{6}{96};$$

$$\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{6}{96};$$ $$\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{16};$$

$$\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1}{16};$$ $$\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^4};$$

$$\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1}{2^4};$$ $$n-1=4;$$

$$n — 1 = 4;$$ $$n = 4 + 1 = 5;$$

Номер фигуры нечётный, значит она является прямоугольником;

Ответ: пятого; прямоугольник.