ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 653 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Действуем по формуле. Дана геометрическая прогрессия. Найдите её знаменатель и выпишите следующие три члена этой прогрессии:

а) $2;2\sqrt{2};4;4\sqrt{2};\dots$;

б) $5;\sqrt{5};1;\frac{\sqrt{5}}{5};\dots$.

В каждом случае запишите формулу $n$-го члена этой прогрессии и найдите: 15-й член; 20-й член.

а) $2;2\sqrt{2};4;8\sqrt{2};16;\dots$

$b_1=2$ и $q=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$;

$b_5=b_4\cdot q=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4\cdot 2=8$;

$b_6=b_5\cdot q=8\cdot \sqrt{2}=8\sqrt{2}$;

$b_7=b_6\cdot q=8\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=8\cdot 2=16$;

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}=2\cdot (\sqrt{2}{)}^{n-1}=(\sqrt{2}{)}^2\cdot (\sqrt{2}{)}^{n-1}=(\sqrt{2}{)}^{n+1}$;

$b_{15}=(\sqrt{2}{)}^{16}=2^8=256$;

$b_{20}=(\sqrt{2}{)}^{21}=(\sqrt{2}{)}^{20}\cdot \sqrt{2}=2^{10}\cdot \sqrt{2}=1024\sqrt{2}$;

б) $5;\sqrt{5};1;\frac{\sqrt{5}}{5};\frac{1}{25};\dots$

$b_1=5$ и $q=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}$;

$b_5=b_4\cdot q=\frac{\sqrt{5}}{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{5}$;

$b_6=b_5\cdot q=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{25}$;

$b_7=b_6\cdot q=\frac{\sqrt{5}}{25}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{25}$;

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}=5\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^{n-1}=(\sqrt{5}{)}^2\cdot (\sqrt{5}{)}^{-n+1}=(\sqrt{5}{)}^{3-n}$;

$b_{15}=(\sqrt{5}{)}^{3-15}=\frac{1}{(\sqrt{5}{)}^{12}}=\frac{1}{5^6}=\frac{1}{15625}$;

$b_{20}=(\sqrt{5}{)}^{3-20}=\frac{1}{(\sqrt{5}{)}^{17}}=\frac{\sqrt{5}}{(\sqrt{5}{)}^{18}}=\frac{\sqrt{5}}{5^9}=\frac{\sqrt{5}}{1953125}$;

а) $2;2\sqrt{2};4;8\sqrt{2};16;\dots$

Геометрическая прогрессия определяется тем, что каждый следующий член получается умножением предыдущего на некоторое постоянное число $q$, называемое знаменателем прогрессии. Давайте найдём знаменатель этой прогрессии. Мы знаем, что:

$$b_1=2\text{и}{b}_2=2\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Для нахождения $q$, знаменателя прогрессии, вычислим отношение между вторым и первым членами:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, знаменатель прогрессии $q=\sqrt{2}$.

Теперь запишем формулу для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}=2\cdot (\sqrt{2}{)}^{n-1}\mathrm{.}$$

Для нахождения пятого члена $b_5$, подставляем $n=5$ в формулу:

$$b_5=b_1\cdot q^4=2\cdot (\sqrt{2}{)}^4=2\cdot 4=8.$$

Для нахождения шестого члена $b_6$, подставляем $n=6$:

$$b_6=b_1\cdot q^5=2\cdot (\sqrt{2}{)}^5=2\cdot 8\sqrt{2}=8\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Для нахождения седьмого члена $b_7$, подставляем $n=7$:

$$b_7=b_1\cdot q^6=2\cdot (\sqrt{2}{)}^6=2\cdot 16=16.$$

Ответ: $b_5=8;b_6=8\sqrt{2};b_7=16;\dots$.

Члены прогрессии: $2;2\sqrt{2};4;8\sqrt{2};16;\dots$.

б) $5;\sqrt{5};1;\frac{\sqrt{5}}{5};\frac{1}{25};\dots$

Из первой пары членов прогрессии, $b_1=5$ и $b_2=\sqrt{5}$, найдем знаменатель прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}\mathrm{.}$$

Таким образом, знаменатель прогрессии $q=\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Запишем формулу для $n$-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}=5\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^{n-1}\mathrm{.}$$

Для нахождения пятого члена $b_5$, подставляем $n=5$ в формулу:

$$b_5=b_1\cdot q^4=5\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^4=5\cdot \frac{1}{25}=\frac{1}{5}\mathrm{.}$$

Для нахождения шестого члена $b_6$, подставляем $n=6$:

$$b_6=b_1\cdot q^5=5\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^5=5\cdot \frac{1}{125}=\frac{1}{25}\mathrm{.}$$

Для нахождения седьмого члена $b_7$, подставляем $n=7$:

$$b_7=b_1\cdot q^6=5\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^6=5\cdot \frac{1}{625}=\frac{1}{125}\mathrm{.}$$

Ответ: $b_5=\frac{1}{5};b_6=\frac{1}{25};b_7=\frac{1}{125};\dots$.

Члены прогрессии: $5;\sqrt{5};1;\frac{\sqrt{5}}{5};\frac{1}{25};\dots$.