ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 652 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Является ли геометрической или арифметической прогрессией последовательность, $n$-й член которой вычисляется по формуле:

а) $b_n = 2 \cdot 3^n$;

б) $b_n = 2 — 3n$;

в) $b_n = 2 — 3^n$;

г) $b_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$?

2) Запишите формулу $n$-го члена каждой последовательности и определите, является ли она арифметической или геометрической прогрессией:

а) последовательность натуральных степеней числа 2;

1)

а) $b_n = 2 \cdot 3^n$ и $b_{n+1} = 2 \cdot 3^{n+1}$;

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 \cdot 3^{n+1}}{2 \cdot 3^n} = 3^{n+1-n} = 3$;

Отношение между соседними членами постоянно, значит последовательность является геометрической прогрессией;

б) $b_n = 2 — 3n$ и $b_{n+1} = 2 — 3(n + 1) = 2 — 3n — 3 = -1 — 3n$;

$d = b_{n+1} — b_n = -1 — 3n — (2 — 3n) = -1 — 3n — 2 + 3n = -3$;

Разность между соседними членами постоянна, значит последовательность является арифметической прогрессией;

в) $b_n = 2 — 3^n$ и $b_{n+1} = 2 — 3^{n+1}$;

$d = b_{n+1} — b_n = 2 — 3^{n+1} — (2 — 3^n) = 3^n — 3^{n+1}$;

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 — 3^{n+1}}{2 — 3^n}$;

Ни разность, ни отношение между соседними членами не постоянны, значит последовательность не является прогрессией;

г) $b_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$ и $b_{n+1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$;

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1-n} = \frac{1}{2}$;

Отношение между соседними членами постоянно, значит последовательность является геометрической прогрессией;

2)

а) Последовательность натуральных степеней числа 2:

$2^1; 2^2; 2^3; \ldots; 2^n; \ldots$

$a_n = 2^n$;

$a_{n+1} = 2^{n+1}$;

$q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{n+1-n} = 2$;

Отношение между соседними членами постоянно, значит последовательность является геометрической прогрессией;

б) Последовательность квадратов натуральных чисел:

$1^2; 2^2; 3^2; \ldots; n^2; \ldots$

$b_n = n^2$;

$b_{n+1} = (n+1)^2$;

$d = b_{n+1} — b_n = (n+1)^2 — n^2 = n^2 + 2n + 1 — n^2 = 2n + 1$;

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(n+1)^2}{n^2} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2$;

в) Последовательность натуральных чисел, кратных 5:

$5; 5 \cdot 2; 5 \cdot 3; 5 \cdot 4; \ldots; 5n; \ldots$

$c_n = 5n$;

$c_{n+1} = 5(n+1) = 5n + 5$;

$d = c_{n+1} — c_n = 5n + 5 — 5n = 5$;

Разность между соседними членами постоянна, значит последовательность является арифметической прогрессией;

г) Последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2:

$2; 2 + 5 \cdot 1; 2 + 5 \cdot 2; \ldots; 7 + 5(n-1); \ldots$

$x_n = 2 + 5(n-1) = 2 + 5n — 5 = 5n — 3$;

$x_{n+1} = 5(n+1) — 3 = 5n + 5 — 3 = 5n + 2$;

$d = x_{n+1} — x_n = 5n + 2 — (5n — 3) = 5$;

Разность между соседними членами постоянна, значит последовательность является арифметической прогрессией.

1)

а) $b_n = 2 \cdot 3^n$ и $b_{n+1} = 2 \cdot 3^{n+1}$;

Для того чтобы определить, является ли последовательность геометрической прогрессией, нам нужно найти отношение между соседними членами. Это отношение для геометрической прогрессии называется коэффициентом прогрессии (знаменателем) $q$.

Рассчитаем отношение между $b_{n+1}$ и $b_n$:

$$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 \cdot 3^{n+1}}{2 \cdot 3^n} = 3^{n+1-n} = 3.$$

Мы видим, что отношение между соседними членами постоянно и равно 3. Поскольку отношение между всеми членами одинаково, последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: геометрическая прогрессия.

б) $b_n = 2 — 3n$ и $b_{n+1} = 2 — 3(n + 1) = 2 — 3n — 3 = -1 — 3n$;

2.1) Теперь определим, является ли последовательность арифметической прогрессией. Для арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами постоянна и равна разности прогрессии $d$.

Рассчитаем разность между соседними членами:

$$d = b_{n+1} — b_n = (-1 — 3n) — (2 — 3n) = -1 — 3n — 2 + 3n = -3.$$

Мы видим, что разность между всеми соседними членами постоянна и равна $-3$. Поскольку разность между соседними членами постоянна, последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: арифметическая прогрессия.

в) $b_n = 2 — 3^n$ и $b_{n+1} = 2 — 3^{n+1}$;

Рассчитаем разность между соседними членами:

$$d = b_{n+1} — b_n = (2 — 3^{n+1}) — (2 — 3^n) = 3^n — 3^{n+1}.$$

Мы видим, что разность между соседними членами зависит от $n$, а именно она равна $3^n — 3^{n+1}$, которая не является постоянной, так как значения меняются с каждым увеличением $n$. Следовательно, разность не постоянна.

Рассчитаем отношение между соседними членами:

$$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2 — 3^{n+1}}{2 — 3^n}.$$

Мы видим, что это отношение не является постоянным, так как оно зависит от $n$.

Поскольку ни разность, ни отношение между соседними членами не постоянны, последовательность не является прогрессией.

Ответ: не является прогрессией.

г) $b_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$ и $b_{n+1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$;

Для определения, является ли последовательность геометрической прогрессией, вычислим отношение между соседними членами:

$$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1-n} = \frac{1}{2}.$$

Мы видим, что отношение между соседними членами постоянно и равно $\frac{1}{2}$. Поскольку отношение между всеми соседними членами одинаково, последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: геометрическая прогрессия.

2)

а) Последовательность натуральных степеней числа 2:

$$2^1; 2^2; 2^3; \ldots; 2^n; \ldots$$

Запишем формулу для $n$-го члена последовательности:

$$a_n = 2^n.$$

Для нахождения отношения между соседними членами:

$$a_{n+1} = 2^{n+1}.$$

Рассчитаем отношение между соседними членами:

$$q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{n+1-n} = 2.$$

Мы видим, что отношение между соседними членами постоянно и равно 2, значит последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: геометрическая прогрессия.

б) Последовательность квадратов натуральных чисел:

$$1^2; 2^2; 3^2; \ldots; n^2; \ldots$$

Запишем формулу для $n$-го члена последовательности:

$$b_n = n^2.$$

Для нахождения отношения между соседними членами:

$$b_{n+1} = (n+1)^2.$$

Рассчитаем разность между соседними членами:

$$d = b_{n+1} — b_n = (n+1)^2 — n^2 = n^2 + 2n + 1 — n^2 = 2n + 1.$$

Мы видим, что разность между соседними членами меняется с каждым $n$, она не постоянна.

Рассчитаем отношение между соседними членами:

$$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(n+1)^2}{n^2} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2.$$

Мы видим, что отношение также зависит от $n$ и не является постоянным.

Ответ: не является прогрессией.

в) Последовательность натуральных чисел, кратных 5:

$$5; 5 \cdot 2; 5 \cdot 3; 5 \cdot 4; \ldots; 5n; \ldots$$

Запишем формулу для $n$-го члена последовательности:

$$c_n = 5n.$$

Для нахождения отношения между соседними членами:

$$c_{n+1} = 5(n+1) = 5n + 5.$$

Рассчитаем разность между соседними членами:

$$d = c_{n+1} — c_n = 5n + 5 — 5n = 5.$$

Мы видим, что разность между соседними членами постоянна и равна 5, значит последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: арифметическая прогрессия.

г) Последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2:

$$2; 2 + 5 \cdot 1; 2 + 5 \cdot 2; \ldots; 7 + 5(n-1); \ldots$$

Запишем формулу для $n$-го члена последовательности:

$$x_n = 2 + 5(n-1) = 2 + 5n — 5 = 5n — 3.$$

Для нахождения следующего члена последовательности:

$$x_{n+1} = 5(n+1) — 3 = 5n + 5 — 3 = 5n + 2.$$

Рассчитаем разность между соседними членами:

$$d = x_{n+1} — x_n = 5n + 2 — (5n — 3) = 5.$$

Мы видим, что разность между соседними членами постоянна и равна 5, значит последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: арифметическая прогрессия.