ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 638 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что четыре положительных чётных числа образуют арифметическую прогрессию. Их сумма равна 100. Найдите эти числа. Сколько решений имеет задача?

1) Пусть $(a_n)$ — данная арифметическая прогрессия, тогда:

$S_4 = \frac{a_1 + a_4}{2} \cdot 4 = 100$;

$(a_1 + a_4) \cdot 2 = 100$;

$a_1 + a_4 = 50$;

2) Все данные числа четные, значит:

$a_2 = a_1 + d$;

$a_3 = a_2 + x = a_1 + 2d$;

$a_4 = a_3 + x = a_1 + 3d$;

Где $d$ — некоторое четное положительное число;

3) Составим и решим систему уравнений:

$$\begin{cases} a_1 + a_4 = 50 \\ a_4 = a_1 + 3d \end{cases}$$

$a_1 + a_1 + 3d = 50$;

$2a_1 = 50 — 3d$;

$a_1 = 25 — \frac{3}{2}d$;

4) Значения $d$, при которых все числа положительны:

$25 — \frac{3}{2}d > 0$;

$-\frac{3}{2}d > -25$;

$\frac{3}{2}d < 25$;

$d < 25 \cdot \frac{2}{3}$;

$d < 16 \frac{2}{3}$, то есть $d \leq 16$;

5) Рассмотрим все четные положительные значения $d$:

При $d = 2$: $a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 2 = 25 — 3 = 22$;

При $d = 4$: $a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 4 = 25 — 6 = 19$ (нечетное число);

При $d = 6$: $a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 6 = 25 — 9 = 16$;

При $d = 8$: $a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 8 = 25 — 12 = 13$ (нечетное число);

При $d = 10$: $a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 10 = 25 — 15 = 10$;

При $d = 12$: $a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 12 = 25 — 18 = 7$ (нечетное число);

При $d = 14$: $a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 14 = 25 — 21 = 4$;

При $d = 16$: $a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 16 = 25 — 24 = 1$ (нечетное число);

Четыре решения:

$a_1 = 22$ и $d = 2$; $a_1 = 16$ и $d = 6$; $a_1 = 10$ и $d = 10$; $a_1 = 4$ и $d = 14$.

1. Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$. Тогда сумма первых 4-х членов прогрессии $S_4$ вычисляется по формуле:

$$S_4 = \frac{a_1 + a_4}{2} \cdot 4 = 100.$$

Решение:

$$S_4 = \frac{a_1 + a_4}{2} \cdot 4 = 100 \quad \Rightarrow \quad (a_1 + a_4) \cdot 2 = 100.$$ $$a_1 + a_4 = 50.$$

Таким образом, сумма первого и четвертого членов прогрессии равна 50.

2. Все данные числа четные, следовательно, каждый член прогрессии зависит от некоторого четного числа $d$ — разности прогрессии. Найдем выражения для каждого члена прогрессии:

$$a_2 = a_1 + d,$$ $$a_3 = a_2 + d = a_1 + 2d,$$ $$a_4 = a_3 + d = a_1 + 3d.$$

Таким образом, каждый следующий член прогрессии получается путем добавления разности $d$, которая является четным положительным числом.

3. Теперь составим и решим систему уравнений для нахождения значений $a_1$ и $d$:

$$\begin{cases} a_1 + a_4 = 50, \\ a_4 = a_1 + 3d. \end{cases}$$

Подставим $a_4$ из второго уравнения в первое:

$$a_1 + (a_1 + 3d) = 50,$$ $$2a_1 + 3d = 50.$$

Решим это уравнение относительно $a_1$:

$$2a_1 = 50 — 3d,$$ $$a_1 = 25 — \frac{3}{2}d.$$

4. Теперь найдем ограничения на $d$, при которых все числа прогрессии будут положительными:

$$a_1 > 0 \quad \Rightarrow \quad 25 — \frac{3}{2}d > 0,$$ $$-\frac{3}{2}d > -25,$$ $$d < 25 \cdot \frac{2}{3} = 16 \frac{2}{3}.$$

Таким образом, $d$ должно быть меньше или равно $16 \frac{2}{3}$, то есть $d \leq 16$.

5. Теперь рассмотрим все возможные четные значения $d$, при которых $d \leq 16$, и вычислим $a_1$:

При $d = 2$:

$$a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 2 = 25 — 3 = 22.$$

При $d = 4$:

$$a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 4 = 25 — 6 = 19 \quad (\text{нечетное число}).$$

При $d = 6$:

$$a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 6 = 25 — 9 = 16.$$

При $d = 8$:

$$a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 8 = 25 — 12 = 13 \quad (\text{нечетное число}).$$

При $d = 10$:

$$a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 10 = 25 — 15 = 10.$$

При $d = 12$:

$$a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 12 = 25 — 18 = 7 \quad (\text{нечетное число}).$$

При $d = 14$:

$$a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 14 = 25 — 21 = 4.$$

При $d = 16$:

$$a_1 = 25 — \frac{3}{2} \cdot 16 = 25 — 24 = 1 \quad (\text{нечетное число}).$$

Четыре решения:

$$a_1 = 22 \text{ и } d = 2, \quad a_1 = 16 \text{ и } d = 6, \quad a_1 = 10 \text{ и } d = 10, \quad a_1 = 4 \text{ и } d = 14.$$