ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 637 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите сумму, слагаемые которой являются членами арифметической прогрессии:

а) $2 + 4 + 6 + 8 + \ldots + 2n$;

б) $1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + (2n — 1)$.

а) $2 + 4 + 6 + 8 + \cdots + 2n$:

$a_1 = 2$ и $a_n = 2n$;

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = (1 + n) \cdot n = n^2 + n$;

б) $1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + (2n — 1)$:

$a_1 = 1$ и $a_n = 2n — 1$;

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + (2n — 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$;

а) $2 + 4 + 6 + 8 + \cdots + 2n$:

Это арифметическая прогрессия, где:

• $a_1 = 2$ — первый член прогрессии,
• $a_n = 2n$ — последний член прогрессии,
• $d = 2$ — разность прогрессии.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n,$$

где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов. Подставим $a_1 = 2$ и $a_n = 2n$ в формулу для суммы:

$$S_n = \frac{2 + 2n}{2} \cdot n = \frac{2(1 + n)}{2} \cdot n = (1 + n) \cdot n = n^2 + n.$$

Это и есть выражение для суммы первых $n$ членов данной арифметической прогрессии.

б) $1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + (2n — 1)$:

Это также арифметическая прогрессия, где:

• $a_1 = 1$ — первый член прогрессии,
• $a_n = 2n — 1$ — последний член прогрессии,
• $d = 2$ — разность прогрессии.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии снова вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n,$$

где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов. Подставим $a_1 = 1$ и $a_n = 2n — 1$ в формулу для суммы:

$$S_n = \frac{1 + (2n — 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2.$$

Это и есть выражение для суммы первых $n$ членов данной арифметической прогрессии.