ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 636 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, кратных 5, надо сложить, чтобы получить сумму, большую 275? большую 330?

1) Сумма последовательных натуральных чисел, кратных пяти:

$a_1 = 5$ и $d = 5$;

$a_n = a_1 + d(n — 1) = a_1 + dn — d$;

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + dn — d}{2} \cdot n$;

$S_n = \frac{2 \cdot 5 + 5 \cdot n — 5}{2} \cdot n = \frac{5 + 5n}{2} \cdot n = \frac{5n + 5n^2}{2}$;

2) Сумма первых $n$ членов больше 275:

$S_n = \frac{5n + 5n^2}{2} > 275$;

$5n + 5n^2 > 275 \cdot 2$;

$5n^2 + 5n — 550 > 0 \quad | : 5$;

$n^2 + n — 110 > 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 110 = 1 + 440 = 441 = 21^2$, тогда:

$n_1 = \frac{-1 — 21}{2} = -11$ и $n_2 = \frac{-1 + 21}{2} = 10$;

$(n + 11)(n — 10) > 0$;

$n \in (-\infty; -11) \cup (10; +\infty)$;

Искомое число натуральное, значит:

$n > 10$, то есть $n = 11$;

Ответ: 11 чисел.

3) Сумма первых $n$ членов больше 330:

$S_n = \frac{5n + 5n^2}{2} > 330$;

$5n + 5n^2 > 330 \cdot 2$;

$5n^2 + 5n — 660 > 0 \quad | : 5$;

$n^2 + n — 132 > 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 132 = 1 + 528 = 529 = 23^2$, тогда:

$n_1 = \frac{-1 — 23}{2} = -12$ и $n_2 = \frac{-1 + 23}{2} = 11$;

$(n + 12)(n — 11) > 0$;

$n \in (-\infty; -12) \cup (11; +\infty)$;

Искомое число натуральное, значит:

$n > 11$, то есть $n = 12$;

Ответ: 12 чисел.

1. Задано: арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 5$ и разностью $d = 5$.

Формула для $n$-го члена прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1),$$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена. Подставим $a_1 = 5$ и $d = 5$ в эту формулу:

$$a_n = 5 + 5(n — 1) = 5 + 5n — 5 = 5n.$$

Это и есть формула для $n$-го члена прогрессии.

2. Сумма первых $n$ членов прогрессии:
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n,$$

где $a_n$ — последний член, $a_1$ — первый член, а $n$ — количество членов. Подставляем $a_1 = 5$ и $a_n = 5n$ (формула для $n$-го члена):

$$S_n = \frac{5 + 5n}{2} \cdot n = \frac{5n + 5}{2} \cdot n = \frac{5n^2 + 5n}{2}.$$

3. Сумма первых $n$ членов больше 275:
Найдем $n$, при котором сумма первых $n$ членов будет больше 275. Для этого подставим формулу для суммы:

$$S_n = \frac{5n^2 + 5n}{2} > 275.$$

Умножим обе стороны на 2:

$$5n^2 + 5n > 550.$$

Разделим обе стороны на 5:

$$n^2 + n > 110.$$

Теперь решим это неравенство. Для этого применим формулу дискриминанта для квадратного уравнения $n^2 + n — 110 = 0$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441.$$

Корни этого уравнения вычисляются по формуле:

$$n = \frac{-1 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{-1 \pm 21}{2}.$$

Таким образом, получаем два корня:

$$n_1 = \frac{-1 — 21}{2} = -11 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-1 + 21}{2} = 10.$$

Так как $n$ должно быть положительным, принимаем $n = 10$.

Ответ: сумма первых $n = 11$ чисел больше 275.

Сумма первых $n$ членов больше 330:
Найдем $n$, при котором сумма первых $n$ членов будет больше 330. Подставим формулу для суммы:

$$S_n = \frac{5n^2 + 5n}{2} > 330.$$

Умножим обе стороны на 2:

$$5n^2 + 5n > 660.$$

Разделим обе стороны на 5:

$$n^2 + n > 132.$$

Теперь решим это неравенство. Для этого применим формулу дискриминанта для квадратного уравнения $n^2 + n — 132 = 0$:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529.$$

Корни этого уравнения вычисляются по формуле:

$$n = \frac{-1 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{-1 \pm 23}{2}.$$

Таким образом, получаем два корня:

$$n_1 = \frac{-1 — 23}{2} = -12 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-1 + 23}{2} = 11.$$

Так как $n$ должно быть положительным, принимаем $n = 12$.

Ответ: сумма первых $n = 12$ чисел