ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 633 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) В арифметической прогрессии $(b_n)$ $b_6 = 20$, $b_{10} = 18$. Найдите $S_{20}$.

б) В арифметической прогрессии $(c_n)$ $c_5 = 16$, $c_{15} = 36$. Найдите $S_{25}$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n — 1)}{2} \cdot n$;

а) $b_6 = 20$ и $b_{10} = 18$:

1) Разность прогрессии:

$$\begin{cases} b_1 + 5d = 20 \\ b_1 + 9d = 18 \end{cases}$$

$b_1 + 5d — (b_1 + 9d) = 20 — 18$;

$-4d = 2$, отсюда $d = -0.5$;

2) Первый член прогрессии:

$b_1 = b_6 — 5d$;

$b_1 = 20 — 5 \cdot (-0.5) = 20 + 2.5 = 22.5$;

3) Сумма первых 20 членов:

$S_{20} = \frac{2 \cdot 22.5 + (-0.5)(20 — 1)}{2} \cdot 20 = \frac{45 — 9.5}{2} \cdot 20 = (45 — 9.5) \cdot 10 = 35.5 \cdot 10 = 355$;

Ответ: 355.

б) $c_5 = 16$ и $c_{15} = 36$:

1) Разность прогрессии:

$$\begin{cases} c_1 + 4d = 16 \\ c_1 + 14d = 36 \end{cases}$$

$c_1 + 14d — (c_1 + 4d) = 36 — 16$;

$10d = 20$, отсюда $d = 2$;

2) Первый член прогрессии:

$c_1 = c_5 — 4d$;

$c_1 = 16 — 4 \cdot 2 = 16 — 8 = 8$;

3) Сумма первых 25 членов:

$S_{25} = \frac{2 \cdot 8 + 2(25 — 1)}{2} \cdot 25 = \frac{16 + 48}{2} \cdot 25 = \frac{64}{2} \cdot 25 = 32 \cdot 25 = 800$;

Ответ: 800.

а) Решение задачи для прогрессии $b_n$:

Рассмотрим, что $b_6 = 20$ и $b_{10} = 18$. Это два члена арифметической прогрессии. Мы знаем, что общий член арифметической прогрессии можно выразить как:

$$b_n = b_1 + (n-1) \cdot d,$$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена.

Из условия задачи известно два члена прогрессии:

$$b_6 = b_1 + 5d = 20 \quad \text{и} \quad b_{10} = b_1 + 9d = 18.$$

Таким образом, у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} b_1 + 5d = 20, \\ b_1 + 9d = 18. \end{cases}$$

Вычитаем первое уравнение из второго:

$$(b_1 + 9d) — (b_1 + 5d) = 18 — 20,$$ $$4d = -2,$$ $$d = -0.5.$$

Теперь, зная разность прогрессии $d = -0.5$, можем найти первый член $b_1$. Подставим значение $d$ в первое уравнение:

$$b_1 + 5 \cdot (-0.5) = 20,$$ $$b_1 — 2.5 = 20,$$ $$b_1 = 20 + 2.5 = 22.5.$$

Теперь найдем сумму первых 20 членов прогрессии, используя формулу для суммы $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Для нахождения $S_{20}$ нам нужно знать $a_1$ и $a_{20}$. Член $a_{20}$ можно найти по формуле:

$$a_{20} = b_1 + (20-1) \cdot d = 22.5 + 19 \cdot (-0.5) = 22.5 — 9.5 = 13.$$

Теперь подставим в формулу для суммы:

$$S_{20} = \frac{22.5 + 13}{2} \cdot 20 = \frac{35.5}{2} \cdot 20 = 17.75 \cdot 20 = 355.$$

Ответ: 355.

б) Решение задачи для прогрессии $c_n$:

1. Рассмотрим, что $c_5 = 16$ и $c_{15} = 36$. Мы знаем, что для арифметической прогрессии:

$$c_n = c_1 + (n — 1) \cdot d,$$

где $c_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена.

Из условия задачи известно два члена прогрессии:

$$c_5 = c_1 + 4d = 16 \quad \text{и} \quad c_{15} = c_1 + 14d = 36.$$

Таким образом, у нас есть система уравнений:

$$\begin{cases} c_1 + 4d = 16, \\ c_1 + 14d = 36. \end{cases}$$

Вычитаем первое уравнение из второго:

$$(c_1+14d)-(c_1+4d)=36-16,$$

$$(c_1 + 14d) — (c_1 + 4d) = 36 — 16,$$ $$10d=20,$$

$$10d = 20,$$ $$d = 2.$$

Теперь, зная разность прогрессии $d = 2$, можем найти первый член $c_1$. Подставим значение $d$ в первое уравнение:

$$c_1+4\cdot 2=16,$$

$$c_1 + 4 \cdot 2 = 16,$$ $$c_1+8=16,$$

$$c_1 + 8 = 16,$$ $$c_1 = 16 — 8 = 8.$$

Теперь найдем сумму первых 25 членов прогрессии, используя формулу для суммы $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Для нахождения $S_{25}$ нам нужно знать $c_1$ и $c_{25}$. Член $c_{25}$ можно найти по формуле:

$$c_{25} = c_1 + (25 — 1) \cdot d = 8 + 24 \cdot 2 = 8 + 48 = 56.$$

Теперь подставим в формулу для суммы:

$$S_{25} = \frac{8 + 56}{2} \cdot 25 = \frac{64}{2} \cdot 25 = 32 \cdot 25 = 800.$$

Ответ: 800.