ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 629 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Фигура, изображённая на рисунки 4.9, состоит из столбцов, каждый из которых на 2 единицы длиннее предыдущего. Основание каждого столбца равно 1.
а) Найдите площадь фигуры (в кв. ед.), если в ней 8 столбцов; 100 столбцов; n столбцов.
б) Сколько всего столбцов в фигуре, если её площадь равна 100 кв. ед.?

Высота каждого столбца: $1; 3; 5; 7; \ldots$

$a_1 = 1$ и $d = 2$;

$a_n = 1 + 2(n — 1) = 1 + 2n — 2 = 2n — 1$;

а) Площадь фигуры, состоящей из $n$ столбцов:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + 2n — 1}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$;

$S_8 = 8^2 = 64$ (кв.ед.);

$S_{100} = 100^2 = 10000$ (кв.ед.);

б) Количество столбцов в фигуре площадью 100 кв. ед.:

$S_n = n^2 = 100$;

$n^2 = 100$, отсюда $n = 10$;

Ответ: 10 столбцов.

а) Площадь фигуры, состоящей из $n$ столбцов:

1. Рассмотрим фигуру, состоящую из столбцов высотой $1; 3; 5; 7; \ldots$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 2$, где каждый член прогрессии $a_n$ представляет собой высоту столбца на позиции $n$.

2. Формула для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1) = 1 + 2(n — 1) = 2n — 1.$$

Таким образом, высота $n$-го столбца $a_n = 2n — 1$.

3. Чтобы найти площадь фигуры, состоящей из $n$ столбцов, нужно найти сумму всех этих высот. Площадь этой фигуры можно представить как сумму всех членов арифметической прогрессии от 1 до $n$-го члена. Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем значения $a_1 = 1$, $a_n = 2n — 1$, и $n$:

$$S_n = \frac{1 + (2n — 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2.$$

4. Теперь вычислим площади для конкретных значений $n$:

Для $n = 8$:

$$S_8 = 8^2 = 64 \text{ (кв.ед.)}.$$

Для $n = 100$:

$$S_{100} = 100^2 = 10000 \text{ (кв.ед.)}.$$

б) Количество столбцов в фигуре площадью 100 кв. ед.:

1. Нам нужно найти количество столбцов $n$, если площадь фигуры $S_n = 100$ кв. ед. Мы знаем, что площадь фигуры равна $S_n = n^2$, поскольку мы уже получили, что для любого $n$ площадь фигуры определяется формулой $S_n = n^2$.

2. Подставляем значение площади $S_n = 100$:

$$n^2 = 100.$$

3. Решаем это уравнение для $n$:

$$n = \sqrt{100} = 10.$$

Ответ: 10 столбцов.