ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 628 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Круги укладывают в форме шестиугольника так, как показано на рисунке 4.8: в центре помещают один круг и укладывают вокруг него круги таким образом, что они образуют пояса — первый, второй, третий и т. д. Определите закономерность, по которой увеличивается число кругов в поясах.
а) Сколько всего кругов в шестиугольнике, содержащем 3 пояса? 10 поясов?
б) Сколько поясов содержится в шестиугольнике, если в нём 127 кругов?

Количество кругов в каждом поясе: $6; 12; 18; \ldots$

$a_1 = 6$ и $d = 12 — 6 = 6$;

$a_n = 6 + 6(n — 1) = 6 + 6n — 6 = 6n$;

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n + 1 = \frac{6 + 6n}{2} \cdot n + 1 = 3n(n + 1) + 1 = 3n^2 + 3n + 1$;

а) Количество кругов в шестиугольнике:

$S_3 = 3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 1 = 3 \cdot 9 + 9 + 1 = 27 + 9 + 1 = 37$;

$S_{10} = 3 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 1 = 3 \cdot 100 + 30 + 1 = 300 + 30 + 1 = 331$;

б) Количество поясов в шестиугольнике из 127 кругов:

$S_n = 3n^2 + 3n + 1 = 127$;

$3n^2 + 3n — 126 = 0 \quad | : 3$;

$n^2 + n — 42 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 42 = 1 + 168 = 169 = 13^2$, тогда:

$n_1 = \frac{-1 — 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$ и $n_2 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$;

Искомое число натуральное, значит: $n = 6$;

Ответ: шесть кругов.

а) Количество кругов в шестиугольнике:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, где каждый член прогрессии $a_n$ — это количество кругов в определенном поясе шестиугольника. Первый член $a_1 = 6$ — это количество кругов в первом поясе, разность прогрессии $d = 6$ — это разница между количеством кругов в соседних поясах, и мы знаем, что последний член $a_n$ в этой прогрессии зависит от номера пояса.

2. Формула для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1).$$

Подставляем известные значения $a_1 = 6$ и $d = 6$:

$$a_n = 6 + 6(n — 1) = 6n.$$

3. Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии, используем формулу для суммы:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем значения $a_1 = 6$ и $a_n = 6n$:

$$S_n = \frac{6 + 6n}{2} \cdot n = 3n(n + 1) + 1 = 3n^2 + 3n + 1.$$

4. Теперь находим количество кругов в шестиугольнике для $n = 3$ и $n = 10$, подставляя соответствующие значения в формулу для суммы.

Для $n = 3$:

$$S_3 = 3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 1 = 3 \cdot 9 + 9 + 1 = 27 + 9 + 1 = 37.$$

Для $n = 10$:

$$S_{10} = 3 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 1 = 3 \cdot 100 + 30 + 1 = 300 + 30 + 1 = 331.$$

б) Количество поясов в шестиугольнике из 127 кругов:

1. Для того, чтобы найти, сколько поясов содержит 127 кругов, мы решим уравнение для суммы первых $n$ членов прогрессии, при этом сумма должна быть равна 127:

$$S_n = 3n^2 + 3n + 1 = 127.$$

Решаем это уравнение для $n$.

2. Переносим все члены в одну сторону:

$$3n^2 + 3n — 126 = 0.$$

Делим на 3 для упрощения:

$$n^2 + n — 42 = 0.$$

3. Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $n^2 + n — 42 = 0$, где $a = 1$, $b = 1$, и $c = -42$, дискриминант $D$ вычисляется как:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169.$$

Так как дискриминант $D = 169$, это полный квадрат $13^2$.

4. Теперь находим корни уравнения:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 13}{2}.$$

Таким образом, два корня:

$$n_1 = \frac{-1 — 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6.$$

5. Поскольку количество поясов $n$ должно быть натуральным числом, то $n = 6$.

Ответ: шесть кругов.