ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 625 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите сумму:
а) всех двузначных чисел, кратных 5;
б) всех трёхзначных чисел, кратных 15;
в) всех двузначных чисел, которые не делятся на 6.

Количество членов арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n — 1) = a_1 + dn — d$, отсюда $n = \frac{a_n — a_1}{d} + 1$;

а) Сумма всех двузначных чисел, кратных пяти:

$a_1 = 10$, $a_n = 95$ и $d = 5$;

$n = \frac{95 — 10}{5} + 1 = \frac{85}{5} + 1 = 17 + 1 = 18$;

$S_{18} = \frac{10 + 95}{2} \cdot 18 = \frac{105}{2} \cdot 18 = 105 \cdot 9 = 945$;

б) Сумма всех трехзначных чисел, кратных пятнадцати:

$a_1 = 105$, $a_n = 990$ и $d = 15$;

$n = \frac{990 — 105}{15} + 1 = \frac{885}{15} + 1 = 59 + 1 = 60$;

$S_{60} = \frac{105 + 990}{2} \cdot 60 = \frac{1095}{2} \cdot 60 = 1095 \cdot 30 = 32850$;

в) Сумма всех двузначных чисел, кратных шести:

$a_1 = 12$, $a_n = 96$ и $d = 6$;

$n = \frac{96 — 12}{6} + 1 = \frac{84}{6} + 1 = 14 + 1 = 15$;

$S_{15} = \frac{12 + 96}{2} \cdot 15 = \frac{108}{2} \cdot 15 = 54 \cdot 15 = 810$;

Сумма всех двузначных чисел:

$a_1 = 10$, $a_n = 99$ и $d = 1$;

$n = (99 — 10) + 1 = 89 + 1 = 90$;

$S_{90} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$;

Сумма всех двузначных чисел, не кратных шести:

$S = S_{90} — S_6 = 4905 — 810 = 4095$;

а) Сумма всех двузначных чисел, кратных пяти:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, члены которой составляют все двузначные числа, кратные пяти. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 10$, разностью $d = 5$, и последним членом $a_n = 95$.

2. Для нахождения количества членов прогрессии $n$, используем формулу для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1).$$

Подставляем известные значения $a_n = 95$, $a_1 = 10$, и $d = 5$:

$$95 = 10 + 5(n — 1).$$

Решаем это уравнение для $n$:

$$95-10=5(n-1),$$

$$95 — 10 = 5(n — 1),$$ $$85=5(n-1),$$

$$85 = 5(n — 1),$$ $$\frac{85}{5}=n-1,$$

$$\frac{85}{5} = n — 1,$$ $$17=n-1,$$

$$17 = n — 1,$$ $$n = 18.$$

Таким образом, количество членов этой прогрессии равно $n = 18$.

3. Теперь найдем сумму первых 18 членов этой прогрессии, используя формулу для суммы арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем $a_1 = 10$, $a_n = 95$, и $n = 18$:

$$S_{18} = \frac{10 + 95}{2} \cdot 18 = \frac{105}{2} \cdot 18 = 105 \cdot 9 = 945.$$

Таким образом, сумма всех двузначных чисел, кратных пяти, равна $S_{18} = 945$.

б) Сумма всех трехзначных чисел, кратных пятнадцати:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, члены которой составляют все трехзначные числа, кратные пятнадцати. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 105$, разностью $d = 15$, и последним членом $a_n = 990$.

2. Для нахождения количества членов прогрессии $n$, используем формулу для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1).$$

Подставляем известные значения $a_n = 990$, $a_1 = 105$, и $d = 15$:

$$990 = 105 + 15(n — 1).$$

Решаем это уравнение для $n$:

$$990-105=15(n-1),$$

$$990 — 105 = 15(n — 1),$$ $$885=15(n-1),$$

$$885 = 15(n — 1),$$ $$\frac{885}{15}=n-1,$$

$$\frac{885}{15} = n — 1,$$ $$59=n-1,$$

$$59 = n — 1,$$ $$n = 60.$$

Таким образом, количество членов этой прогрессии равно $n = 60$.

3. Теперь найдем сумму первых 60 членов этой прогрессии, используя формулу для суммы арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем $a_1 = 105$, $a_n = 990$, и $n = 60$:

$$S_{60} = \frac{105 + 990}{2} \cdot 60 = \frac{1095}{2} \cdot 60 = 1095 \cdot 30 = 32850.$$

Таким образом, сумма всех трехзначных чисел, кратных пятнадцати, равна $S_{60} = 32850$.

в) Сумма всех двузначных чисел, кратных шести:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, члены которой составляют все двузначные числа, кратные шести. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 12$, разностью $d = 6$, и последним членом $a_n = 96$.

2. Для нахождения количества членов прогрессии $n$, используем формулу для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1).$$

Подставляем известные значения $a_n = 96$, $a_1 = 12$, и $d = 6$:

$$96 = 12 + 6(n — 1).$$

Решаем это уравнение для $n$:

$$96-12=6(n-1),$$

$$96 — 12 = 6(n — 1),$$ $$84=6(n-1),$$

$$84 = 6(n — 1),$$ $$\frac{84}{6}=n-1,$$

$$\frac{84}{6} = n — 1,$$ $$14=n-1,$$

$$14 = n — 1,$$ $$n = 15.$$

Таким образом, количество членов этой прогрессии равно $n = 15$.

3. Теперь найдем сумму первых 15 членов этой прогрессии, используя формулу для суммы арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем $a_1 = 12$, $a_n = 96$, и $n = 15$:

$$S_{15} = \frac{12 + 96}{2} \cdot 15 = \frac{108}{2} \cdot 15 = 54 \cdot 15 = 810.$$

Таким образом, сумма всех двузначных чисел, кратных шести, равна $S_{15} = 810$.

Сумма всех двузначных чисел:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, члены которой составляют все двузначные числа от 10 до 99. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 10$, разностью $d = 1$, и последним членом $a_n = 99$.

2. Для нахождения количества членов прогрессии $n$, используем формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1).$$

Подставляем известные значения $a_n = 99$, $a_1 = 10$, и $d = 1$:

$$99 = 10 + 1(n — 1).$$

Решаем это уравнение для $n$:

$$99 — 10 = n — 1,$$ $$89 = n — 1,$$ $$n = 90.$$

Таким образом, количество двузначных чисел равно 90.

3. Теперь найдем сумму первых 90 членов этой прогрессии, используя формулу для суммы:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем $a_1 = 10$, $a_n = 99$, и $n = 90$:

$$S_{90} = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905.$$

Таким образом, сумма всех двузначных чисел равна $S_{90} = 4905$.

Сумма всех двузначных чисел, не кратных шести:

1. Сумма всех двузначных чисел, не кратных шести, равна разности между общей суммой всех двузначных чисел и суммой всех двузначных чисел, кратных шести. Мы уже вычислили сумму всех двузначных чисел, равную $S_{90} = 4905$, и сумму всех двузначных чисел, кратных шести, равную $S_6 = 810$.

2. Теперь находим разницу:

$$S = S_{90} — S_6 = 4905 — 810 = 4095.$$

Таким образом, сумма всех двузначных чисел, не кратных шести, равна $S = 4095$.