ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 624 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите сумму:
а) чётных чисел от 30 до 98;
б) нечётных чисел от 15 до 85.

Количество членов арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n — 1) = a_1 + dn — d$, отсюда $n = \frac{a_n — a_1}{d} + 1$;

а) Сумма всех четных чисел от 30 до 98:

$a_1 = 30$, $a_n = 98$ и $d = 2$;

$n = \frac{98 — 30}{2} + 1 = \frac{68}{2} + 1 = 34 + 1 = 35$;

$S_{35} = \frac{30 + 98}{2} \cdot 35 = \frac{128}{2} \cdot 35 = 64 \cdot 35 = 2240$;

б) Сумма всех нечетных чисел от 15 до 85:

$a_1 = 15$, $a_n = 85$ и $d = 2$;

$n = \frac{85 — 15}{2} + 1 = \frac{70}{2} + 1 = 35 + 1 = 36$;

$S_{36} = \frac{15 + 85}{2} \cdot 36 = \frac{100}{2} \cdot 36 = 50 \cdot 36 = 1800$;

а) Сумма всех четных чисел от 30 до 98:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, члены которой составляют все четные числа от 30 до 98. Поскольку разность между любыми двумя соседними четными числами равна 2, это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 30$, разностью $d = 2$ и последним членом $a_n = 98$.

2. Для нахождения количества членов этой прогрессии $n$, используем формулу для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1).$$

Подставляем $a_n = 98$, $a_1 = 30$, и $d = 2$:

$$98 = 30 + 2(n — 1).$$

Решаем это уравнение для $n$:

$$98-30=2(n-1),$$

$$98 — 30 = 2(n — 1),$$ $$68=2(n-1),$$

$$68 = 2(n — 1),$$ $$\frac{68}{2}=n-1,$$

$$\frac{68}{2} = n — 1,$$ $$34=n-1,$$

$$34 = n — 1,$$ $$n = 35.$$

Таким образом, количество членов этой прогрессии равно $n = 35$.

3. Теперь найдем сумму первых 35 членов этой прогрессии, используя формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем $a_1 = 30$, $a_n = 98$, и $n = 35$:

$$S_{35} = \frac{30 + 98}{2} \cdot 35 = \frac{128}{2} \cdot 35 = 64 \cdot 35 = 2240.$$

Таким образом, сумма всех четных чисел от 30 до 98 равна $S_{35} = 2240$.

б) Сумма всех нечетных чисел от 15 до 85:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, члены которой составляют все нечетные числа от 15 до 85. Разность между любыми двумя соседними нечетными числами равна 2, поэтому это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 15$, разностью $d = 2$ и последним членом $a_n = 85$.

2. Для нахождения количества членов прогрессии $n$, используем формулу для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1).$$

Подставляем $a_n = 85$, $a_1 = 15$, и $d = 2$:

$$85 = 15 + 2(n — 1).$$

Решаем это уравнение для $n$:

$$85-15=2(n-1),$$

$$85 — 15 = 2(n — 1),$$ $$70=2(n-1),$$

$$70 = 2(n — 1),$$ $$\frac{70}{2}=n-1,$$

$$\frac{70}{2} = n — 1,$$ $$35=n-1,$$

$$35 = n — 1,$$ $$n = 36.$$

Таким образом, количество членов этой прогрессии равно $n = 36$.

3. Теперь найдем сумму первых 36 членов этой прогрессии, используя формулу для суммы:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем $a_1 = 15$, $a_n = 85$, и $n = 36$:

$$S_{36} = \frac{15 + 85}{2} \cdot 36 = \frac{100}{2} \cdot 36 = 50 \cdot 36 = 1800.$$

Таким образом, сумма всех нечетных чисел от 15 до 85 равна $S_{36} = 1800$.