ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 623 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите сумму:
а) всех натуральных чисел от 45 до 90;
б) всех целых чисел от -100 до -65;
в) всех двузначных чисел;
г) всех трёхзначных чисел.

Количество членов арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n — 1) = a_1 + dn — d$, отсюда $n = \frac{a_n — a_1}{d} + 1$;

а) Сумма всех натуральных чисел от 45 до 90:

$a_1 = 45$, $a_n = 90$ и $d = 1$;

$n = (90 — 45) + 1 = 46$;

$S_{46} = \frac{45 + 90}{2} \cdot 46 = \frac{135}{2} \cdot 46 = 135 \cdot 23 = 3105$;

б) Сумма всех целых чисел от $-100$ до $-65$:

$a_1 = -100$, $a_n = -65$ и $d = 1$;

$n = (-65 — (-100)) + 1 = 36$;

$S_{36} = \frac{-100 + (-65)}{2} \cdot 36 = \frac{-165}{2} \cdot 36 = -165 \cdot 18 = -2970$;

в) Сумма всех двузначных чисел:

$a_1 = 10$, $a_n = 99$ и $d = 1$;

$n = (99 — 10) + 1 = 90$;

$S = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905$;

г) Сумма всех трехзначных чисел:

$a_1 = 100$, $a_n = 999$ и $d = 1$;

$n = (999 — 100) + 1 = 900$;

$S_{900} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = \frac{1099}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450 = 494550$;

а) Сумма всех натуральных чисел от 45 до 90:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 45$, разностью $d = 1$, и последним членом $a_n = 90$. Необходимо найти сумму всех членов прогрессии от 45 до 90 включительно.

2. Для начала вычислим количество членов прогрессии, используя формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1).$$

Подставим известные значения $a_n = 90$, $a_1 = 45$, и $d = 1$:

$$90 = 45 + 1(n — 1).$$

Решаем это уравнение для $n$:

$$90-45=n-1,$$

$$90 — 45 = n — 1,$$ $$45=n-1,$$

$$45 = n — 1,$$ $$n = 46.$$

Таким образом, в этой прогрессии 46 членов.

3. Теперь, чтобы найти сумму этих 46 членов, применим формулу для суммы арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем $a_1 = 45$, $a_n = 90$, и $n = 46$:

$$S_{46} = \frac{45 + 90}{2} \cdot 46 = \frac{135}{2} \cdot 46 = 135 \cdot 23 = 3105.$$

Таким образом, сумма всех натуральных чисел от 45 до 90 равна $S_{46} = 3105$.

б) Сумма всех целых чисел от $-100$ до $-65$:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = -100$, разность $d = 1$, и последний член $a_n = -65$.

2. Для нахождения количества членов прогрессии $n$, используем ту же формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1).$$

Подставляем значения $a_n = -65$, $a_1 = -100$, и $d = 1$:

$$-65 = -100 + 1(n — 1).$$

Решаем для $n$:

$$-65+100=n-1,$$

$$-65 + 100 = n — 1,$$ $$35=n-1,$$

$$35 = n — 1,$$ $$n = 36.$$

Таким образом, количество членов прогрессии равно 36.

3. Для нахождения суммы этих 36 членов используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем $a_1 = -100$, $a_n = -65$, и $n = 36$:

$$S_{36} = \frac{-100 + (-65)}{2} \cdot 36 = \frac{-165}{2} \cdot 36 = -165 \cdot 18 = -2970.$$

Таким образом, сумма всех целых чисел от $-100$ до $-65$ равна $S_{36} = -2970$.

в) Сумма всех двузначных чисел:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 10$, разность $d = 1$, и последний член $a_n = 99$.

2. Для нахождения количества членов прогрессии $n$, используем формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1).$$

Подставляем значения $a_n = 99$, $a_1 = 10$, и $d = 1$:

$$99 = 10 + 1(n — 1).$$

Решаем для $n$:

$$99-10=n-1,$$

$$99 — 10 = n — 1,$$ $$89=n-1,$$

$$89 = n — 1,$$ $$n = 90.$$

Таким образом, количество двузначных чисел равно 90.

3. Для нахождения суммы этих 90 членов используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем $a_1 = 10$, $a_n = 99$, и $n = 90$:

$$S = \frac{10 + 99}{2} \cdot 90 = \frac{109}{2} \cdot 90 = 109 \cdot 45 = 4905.$$

Таким образом, сумма всех двузначных чисел равна $S = 4905$.

г) Сумма всех трехзначных чисел:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, где первый член $a_1 = 100$, разность $d = 1$, и последний член $a_n = 999$.

2. Для нахождения количества членов прогрессии $n$, используем формулу для $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1).$$

Подставляем значения $a_n = 999$, $a_1 = 100$, и $d = 1$:

$$999 = 100 + 1(n — 1).$$

Решаем для $n$:

$$999 — 100 = n — 1,$$ $$899 = n — 1,$$ $$n = 900.$$

Таким образом, количество трехзначных чисел равно 900.

3. Для нахождения суммы этих 900 членов используем формулу для суммы арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем $a_1 = 100$, $a_n = 999$, и $n = 900$:

$$S_{900} = \frac{100 + 999}{2} \cdot 900 = \frac{1099}{2} \cdot 900 = 1099 \cdot 450 = 494550.$$

Таким образом, сумма всех трехзначных чисел равна $S_{900} = 494550$.