ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 622 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой

$a_n = 10 — 4n$.

а) Составьте формулу для вычисления суммы первых $n$ членов этой прогрессии.

б) Пользуясь этой формулой, найдите сумму первых тридцати членов этой прогрессии.

в) Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили, если в сумме получилось $-120$?

Арифметическая прогрессия: $a_n = 10 — 4n$;

а) Сумма $n$ первых членов прогрессии:

$a_1 = 10 — 4 \cdot 1 = 6$ и $a_n = 10 — 4n$;

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{6 + 10 — 4n}{2} \cdot n = \frac{16 — 4n}{2} \cdot n = \frac{8 — 2n}{1} \cdot n = n(8 — 2n)$;

б) Сумма первых тридцати членов прогрессии:

$S_{30} = 30(8 — 2 \cdot 30) = 30(8 — 60) = 30 \cdot (-52) = -1560$;

в) Сумма первых $n$ членов равна $-120$:

$S_n = n(8 — 2n) = -120$;

$8n — 2n^2 + 120 = 0 \quad | : (-2)$;

$n^2 — 4n — 60 = 0$;

$D = 4^2 + 4 \cdot 60 = 16 + 240 = 256 = 16^2$, тогда:

$n_1 = \frac{4 — 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6$ и $n_2 = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$;

Искомое число натуральное, значит $n = 10$;

Ответ: 10.

а) Сумма $n$ первых членов прогрессии:

1. Дано, что арифметическая прогрессия задана формулой $a_n = 10 — 4n$. Нам необходимо составить формулу для суммы первых $n$ членов прогрессии.

2. Первый член прогрессии $a_1$ вычисляется подставлением $n = 1$ в выражение для $a_n$:

$$a_1 = 10 — 4 \cdot 1 = 6.$$

3. Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии имеет вид:

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n.$$

Подставляем выражение для $a_n = 10 — 4n$ и $a_1 = 6$:

$$S_n = \frac{6 + (10 — 4n)}{2} \cdot n = \frac{6 + 10 — 4n}{2} \cdot n = \frac{16 — 4n}{2} \cdot n.$$

Упростим выражение:

$$S_n = \frac{16 — 4n}{2} \cdot n = n(8 — 2n).$$

Таким образом, формула для суммы первых $n$ членов прогрессии:

$$S_n = n(8 — 2n).$$

б) Сумма первых тридцати членов прогрессии:

1. Для нахождения суммы первых 30 членов прогрессии $S_{30}$, подставим $n = 30$ в формулу для $S_n$:

$$S_{30} = 30(8 — 2 \cdot 30) = 30(8 — 60) = 30 \cdot (-52) = -1560.$$

Таким образом, сумма первых 30 членов прогрессии равна $S_{30} = -1560$.

в) Сумма первых $n$ членов равна $-120$:

1. Теперь нам нужно найти $n$, при котором сумма первых $n$ членов прогрессии равна $-120$. Используем формулу для суммы:

$$S_n = n(8 — 2n) = -120.$$

Решим это уравнение для $n$.

2. Раскроем скобки:

$$n(8 — 2n) = -120,$$ $$8n — 2n^2 = -120.$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$2n^2 — 8n — 120 = 0.$$

Разделим на 2, чтобы упростить уравнение:

$$n^2 — 4n — 60 = 0.$$

3. Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого вычислим дискриминант $D$ по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Для уравнения $n^2 — 4n — 60 = 0$, где $a = 1$, $b = -4$, и $c = -60$, подставим эти значения:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256.$$

Дискриминант $D = 256$, который является полным квадратом $16^2$.

4. Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения $b = -4$, $D = 256$, и $a = 1$:

$$n = \frac{-(-4) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 16}{2}.$$

Таким образом, получаем два возможных значения для $n$:

$$n_1 = \frac{4 — 16}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10.$$

5. Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, нам подходит только $n = 10$.

Ответ: 10.