ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 621 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выбираем способ решения (621–622).

Арифметическая прогрессия задана формулой $a_n=3n+5$. Найдите:

а) $S_{10}$;
б) $S_{20}$;
в) $S_n$.

Арифметическая прогрессия: $a_n=3n+5$;

а) $a_1=3\cdot 1+5=8$ и $a_{10}=3\cdot 10+5=35$;

$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10=\frac{8+35}{2}\cdot 10=\frac{43}{2}\cdot 10=43\cdot 5=215$;

б) $a_1=3\cdot 1+5=8$ и $a_{20}=3\cdot 20+5=65$;

$S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot 20=\frac{8+65}{2}\cdot 20=\frac{73}{2}\cdot 20=73\cdot 10=730$;

в) $a_1=3\cdot 1+5=8$ и $a_n=3n+5$;

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{8+3n+5}{2}\cdot n=\frac{3n+13}{2}\cdot n=\frac{n(3n+13)}{2}$;

а) $a_1=3\cdot 1+5=8$ и $a_{10}=3\cdot 10+5=35$;

1. Сначала рассчитаем первый член прогрессии $a_1$ и десятый член прогрессии $a_{10}$. Для этого подставляем значения $n=1$ и $n=10$ в формулу для общего члена арифметической прогрессии $a_n=3n+5$.

Для $a_1$:

$$a_1=3\cdot 1+5=3+5=8.$$

Для $a_{10}$:

$$a_{10}=3\cdot 10+5=30+5=35.$$

2. Теперь найдем сумму первых 10 членов прогрессии $S_{10}$. Для этого используем формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\mathrm{.}$$

Подставляем значения $a_1=8$, $a_{10}=35$ и $n=10$:

$$S_{10}=\frac{8+35}{2}\cdot 10=\frac{43}{2}\cdot 10=43\cdot 5=215.$$

Таким образом, сумма первых 10 членов прогрессии равна $S_{10}=215$.

б) $a_1=3\cdot 1+5=8$ и $a_{20}=3\cdot 20+5=65$;

1. Рассчитаем первый член прогрессии $a_1$ и двадцатый член прогрессии $a_{20}$. Подставляем значения $n=1$ и $n=20$ в формулу для общего члена прогрессии $a_n=3n+5$.

Для $a_1$:

$$a_1=3\cdot 1+5=3+5=8.$$

Для $a_{20}$:

$$a_{20}=3\cdot 20+5=60+5=65.$$

2. Теперь найдем сумму первых 20 членов прогрессии $S_{20}$. Для этого снова используем формулу для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\mathrm{.}$$

Подставляем значения $a_1=8$, $a_{20}=65$ и $n=20$:

$$S_{20}=\frac{8+65}{2}\cdot 20=\frac{73}{2}\cdot 20=73\cdot 10=730.$$

Таким образом, сумма первых 20 членов прогрессии равна $S_{20}=730$.

в) $a_1=3\cdot 1+5=8$ и $a_n=3n+5$;

1. В данном случае мы имеем формулу для общего члена прогрессии $a_n=3n+5$, и нужно найти сумму первых $n$ членов прогрессии $S_n$.

2. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\mathrm{.}$$

Подставляем $a_1=8$ и $a_n=3n+5$:

$$S_n=\frac{8+3n+5}{2}\cdot n=\frac{3n+13}{2}\cdot n\mathrm{.}$$

Упростим выражение:

$$S_n=\frac{n(3n+13)}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, сумма первых $n$ членов прогрессии равна $S_n=\frac{n(3n+13)}{2}$.