ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 616 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Треугольные числа изображаются треугольниками, составленными из шаров (см. рис. 4.2). Определите:
а) сколько шаров в двадцать пятом треугольнике;
б) в каком по счёту треугольнике 55 шаров.

Воспользуемся формулой из задачи 614: $S_n = \frac{n^2 + n}{2}$;

а) В двадцатом треугольнике:

Шаров в каждом ряду: $1; 2; 3; \ldots; 24; 25$;

$a_1 = 1$ и $a_{25} = 25$;

$S_{25} = \frac{25^2 + 25}{2} = \frac{625 + 25}{2} = \frac{650}{2} = 325$;

б) Номер треугольника, в котором 55 шаров:

$S_n = \frac{n^2 + n}{2} = 55$;

$n^2 + n = 55 \cdot 2$;

$n^2 + n — 110 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 110 = 1 + 440 = 441 = 21^2$, тогда:

$n_1 = \frac{-1 — 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11$ и $n_2 = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$;

Искомое число натуральное, значит $n = 10$;

Ответ: в десятом.

а) В двадцатом треугольнике:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, где количество шаров в каждом ряду представлено числами от 1 до 25. Это арифметическая прогрессия, где первый член $a_1 = 1$ и последний член $a_{25} = 25$. Количество шаров в каждом ряду увеличивается на 1, то есть разность прогрессии $d = 1$.

2. Сумма всех шаров в первом треугольнике (или суммарное количество шаров в 25 рядах) вычисляется по формуле для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{n^2 + n}{2}.$$

Здесь $n = 25$, так как количество рядов равно 25, подставляем это значение в формулу:

$$S_{25} = \frac{25^2 + 25}{2} = \frac{625 + 25}{2} = \frac{650}{2} = 325.$$

Таким образом, в двадцатом треугольнике всего 325 шаров.

б) Номер треугольника, в котором 55 шаров:

1. Теперь, рассматриваем задачу, в которой необходимо найти номер треугольника, в котором суммарное количество шаров равно 55. Мы знаем, что сумма всех шаров в первом треугольнике (или в $n$-м треугольнике) вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{n^2 + n}{2}.$$

Подставляем известное значение суммы $S_n = 55$:

$$\frac{n^2 + n}{2} = 55.$$

Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:

$$n^2 + n = 110.$$

Теперь получаем квадратное уравнение:

$$n^2 + n — 110 = 0.$$

2. Для решения квадратного уравнения $n^2 + n — 110 = 0$, вычислим дискриминант $D$ по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Для уравнения $n^2 + n — 110 = 0$ коэффициенты равны $a = 1$, $b = 1$, и $c = -110$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441.$$

Таким образом, дискриминант $D = 441$, который является полным квадратом $21^2$.

3. Теперь, используя дискриминант $D = 441$, найдём корни уравнения по формуле для корней квадратного уравнения:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим значения $b = 1$, $D = 441$, и $a = 1$ в формулу:

$$n = \frac{-1 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 21}{2}.$$

Таким образом, получаем два возможных корня:

$$n_1=\frac{-1-21}{2}=\frac{-22}{2}=-11,$$

$$n_1 = \frac{-1 — 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11,$$ $$n_2 = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10.$$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, нам подходит только корень $n = 10$.

Ответ: в десятом.