ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 615 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пользуясь формулой суммы первых n натуральных чисел, выведенной в упражнении 614, б, выполните следующее задание:
а) найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 1500;
б) определите, сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, надо сложить, чтобы в сумме получить 210.

а) Сумма всех натуральных чисел от 1 до 1500:

$S_{1500} = \frac{1500^2 + 1500}{2} = \frac{2250000 + 1500}{2} = \frac{2251500}{2} = 1125750$;

б) Сумма всех натуральных чисел от 1 до $n$ равна 210:

$S_n = \frac{n^2 + n}{2} = 210$;

$n^2 + n = 210 \cdot 2$;

$n^2 + n — 420 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 420 = 1 + 1680 = 1681 = 41^2$, тогда:

$n_1 = \frac{-1 — 41}{2} = \frac{-42}{2} = -21$ и $n_2 = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20$;

Искомое число натуральное, значит $n = 20$;

Ответ: 20 чисел.

а) Сумма всех натуральных чисел от 1 до 1500:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 1$ и последним членом $a_{1500} = 1500$. Члены этой прогрессии составляют числа от 1 до 1500, а разность прогрессии $d = 1$, так как разница между любыми двумя соседними членами прогрессии всегда равна 1.

2. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}.$$

Здесь $a_1 = 1$, $a_{1500} = 1500$ и $n = 1500$. Подставим эти значения в формулу:

$$S_{1500} = \frac{(1 + 1500) \cdot 1500}{2} = \frac{1501 \cdot 1500}{2}.$$

Выполнив умножение:

$$1501 \cdot 1500 = 2251500.$$

Теперь делим полученную сумму на 2:

$$S_{1500} = \frac{2251500}{2} = 1125750.$$

Таким образом, сумма всех натуральных чисел от 1 до 1500 равна $S_{1500} = 1125750$.

б) Сумма всех натуральных чисел от 1 до $n$ равна 210:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, члены которой составляют числа от 1 до $n$, и сумма этих чисел равна 210. Сумма $S_n$ первых $n$ чисел вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{n^2 + n}{2}.$$

В данном случае нам известно, что сумма этих чисел равна 210, то есть:

$$S_n = 210.$$

Подставим это значение в формулу:

$$\frac{n^2 + n}{2} = 210.$$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$$n^2 + n = 420.$$

Теперь, чтобы решить это уравнение, перенесем все в одну сторону:

$$n^2 + n — 420 = 0.$$

2. Для решения квадратного уравнения $n^2 + n — 420 = 0$ найдем дискриминант. Формула дискриминанта для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ имеет вид:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Для уравнения $n^2 + n — 420 = 0$ коэффициенты $a = 1$, $b = 1$, $c = -420$. Подставим их в формулу для дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681.$$

Таким образом, дискриминант $D = 1681$, который является полным квадратом $41^2$.

3. Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим значения $b = 1$, $D = 1681$, и $a = 1$:

$$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1681}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 41}{2}.$$

Таким образом, получаем два корня:

$$n_1=\frac{-1-41}{2}=\frac{-42}{2}=-21,$$

$$n_1 = \frac{-1 — 41}{2} = \frac{-42}{2} = -21,$$ $$n_2 = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20.$$

4. Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, нам подходит только положительный корень $n = 20$.

Ответ: $20$ чисел.