ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 614 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 500.
б) Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до п.

а) Сумма всех натуральных чисел от 1 до 500:

Арифметическая прогрессия: $1; 2; 3; \ldots; 499; 500$;

$a_1 = 1$ и $a_{500} = 500$;

$S_{500} = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{(1 + 500) \cdot 500}{2} = \frac{501 \cdot 500}{2} = 501 \cdot 250 = 125250$;

б) Сумма всех натуральных чисел от 1 до $n$:

Арифметическая прогрессия: $1; 2; 3; \ldots; n$;

$a_1 = 1$ и $a_n = n$;

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{(1 + n) \cdot n}{2} = \frac{n + n^2}{2}$;

а) Сумма всех натуральных чисел от 1 до 500:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, члены которой представлены числами от 1 до 500:

$$1; 2; 3; \ldots; 499; 500.$$

Это стандартная арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 1$ и последним членом $a_{500} = 500$. Разность прогрессии $d$ вычисляется как разница между любыми двумя соседними членами:

$$d = 2 — 1 = 1.$$

Таким образом, разность между любыми двумя соседними членами равна $d = 1$.

2. Теперь найдём сумму первых 500 членов этой прогрессии $S_{500}$. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}.$$

Подставляем значения: $a_1 = 1$, $a_{500} = 500$, и $n = 500$:

$$S_{500} = \frac{(1 + 500) \cdot 500}{2} = \frac{501 \cdot 500}{2} = 501 \cdot 250 = 125250.$$

Таким образом, сумма всех натуральных чисел от 1 до 500 равна $S_{500} = 125250$.

б) Сумма всех натуральных чисел от 1 до $n$:

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию, члены которой представлены числами от 1 до $n$:

$$1; 2; 3; \ldots; n.$$

Здесь первый член прогрессии $a_1 = 1$, а последний член прогрессии $a_n = n$. Разность прогрессии $d$ равна 1, так как каждый следующий член увеличивается на 1:

$$d = 2 — 1 = 1.$$

2. Теперь найдём сумму первых $n$ членов прогрессии $S_n$. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}.$$

Подставляем значения: $a_1 = 1$, $a_n = n$, и $n$ — общее количество членов:

$$S_n = \frac{(1 + n) \cdot n}{2}.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$S_n = \frac{n + n^2}{2}.$$

Таким образом, сумма всех натуральных чисел от 1 до $n$ равна $S_n = \frac{n + n^2}{2}$.