ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 611 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Рассмотрите арифметическую прогрессию $4$; $8$; $12$; … . Возьмите какой-нибудь член этой прогрессии, кроме первого, и убедитесь в том, что он равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

2) Докажите, что любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

3) Найдите члены последовательности, обозначенные буквами, если известно, что эта последовательность — арифметическая прогрессия:
а) $a_1$; $12$; $a_3$; $18$; $a_5$; $a_6$; … ;
б) $-7$; $a_2$; $-17$; …; $a_{15}$; $-82$; $a_{17}$; … .

1) Рассмотрим арифметическую прогрессию: $24; 28; 32; \ldots$

$28 = \frac{24 + 32}{2}$;

$28 = \frac{56}{2}$;

$28 = 28$;
Действительно, данный член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов;

2) Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d$:

$a_{n-1} = a_1 + d(n-1-1) = a_1 + d(n-2) = a_1 + dn — 2d$;

$a_n = a_1 + d(n-1) = a_1 + dn — d$;

$a_{n+1} = a_1 + d(n+1-1) = a_1 + dn$;

Найдем среднее арифметическое членов, соседних с $a_n$:

$\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} = \frac{a_1 + dn — 2d + a_1 + dn}{2} = \frac{2(a_1 + dn — d)}{2} = a_1 + dn — d$;

То есть $\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} = a_n$, что и требовалось доказать.

3) Найдем недостающие члены арифметических прогрессий:

а) $a_1; 12; a_3; 18; a_5; a_6; \ldots$

$a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2} = \frac{12 + 18}{2} = \frac{30}{2} = 15$;

$d = a_3 — a_2 = 15 — 12 = 3$;

$a_2 = a_1 + d$, отсюда $a_1 = a_2 — d$;

$a_1 = 12 — 3 = 9$;

$a_5 = a_4 + d = 18 + 3 = 21$;

$a_6 = a_5 + d = 21 + 3 = 24$;

Ответ: $9; 12; 15; 18; 21; 24; \ldots$

б) $-7; a_2; -17; \ldots; a_{15}; -82; a_{17}; \ldots$

$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{-7 — 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$;

$d = a_2 — a_1 = -17 — (-12) = -17 + 12 = -5$;

$a_{15} = a_1 + 14d = -7 + 14 \cdot (-5) = -7 — 70 = -77$;

$a_{17} = a_1 + 16d = -7 + 16 \cdot (-5) = -7 — 80 = -87$;

Ответ: $-7; -12; -17; \ldots; -77; -87; \ldots$

Рассмотрим арифметическую прогрессию $24; 28; 32; \ldots$

Члены этой прогрессии образуют последовательность,

где первый член $a_1 = 24$ , второй член $a_2 = 28$, третий член $a_3 = 32$, и так далее.

Разность прогрессии $d$ можно вычислить как разницу между любыми двумя соседними членами:

$$d = a_2 — a_1 = 28 — 24 = 4.$$

Теперь, чтобы убедиться, что $28$ является средним арифметическим двух соседних с ним членов,

вычислим его как среднее арифметическое $a_1$и $a_3$:

$$\frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{24 + 32}{2} = \frac{56}{2} = 28.$$

Таким образом, мы видим, что $28$ действительно равно среднему арифметическому $24$ и $32$, что и требовалось доказать.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d$. Мы можем выразить $n$-й член прогрессии как:

$$a_n = a_1 + d(n — 1),$$

где $a_1$— первый член прогрессии,

$d$ — разность прогрессии, а

$n$ — порядковый номер члена прогрессии.

Теперь, для произвольного члена прогрессии $a_n$, рассмотрим его соседей:

$a_{n-1}$ и $a_{n+1}$. Мы можем записать их как:

$$a_{n-1} = a_1 + d(n — 2),$$

$$a_{n+1} = a_1 + d(n),$$

где $a_{n-1}$— предыдущий член, а $a_{n+1}$— следующий член прогрессии.

Теперь найдем среднее арифметическое этих двух соседей:

$$\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} = \frac{(a_1 + d(n — 2)) + (a_1 + d(n))}{2} = \frac{2a_1 + d(n — 2 + n)}{2} = \frac{2a_1 + d(2n — 2)}{2}.$$

Упростив, получаем:

$$\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} = a_1 + d(n — 1) = a_n.$$

Таким образом, мы доказали, что любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, что и требовалось доказать.

Найдем недостающие члены арифметических прогрессий.

а) Рассмотрим последовательность: $a_1; 12; a_3; 18; a_5; a_6; \dots$

Здесь известно, что $a_2 = 12$ и $a_4 = 18$.

Мы можем найти $a_3$как среднее арифметическое $a_2$ и $a_4$:

$$a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2} = \frac{12 + 18}{2} = \frac{30}{2} = 15.$$

Теперь, зная $a_3 = 15$, мы можем вычислить разность прогрессии $d$

как разницу между $a_3$ и $a_2$:

$$d = a_3 — a_2 = 15 — 12 = 3.$$

Для нахождения $a_1$используем следующее соотношение:

$$a_2 = a_1 + d \Rightarrow a_1 = a_2 — d = 12 — 3 = 9.$$

Теперь можем найти другие члены прогрессии:

$$a_5 = a_4 + d = 18 + 3 = 21,$$

$$a_6 = a_5 + d = 21 + 3 = 24.$$

Ответ: $9; 12; 15; 18; 21; 24; \dots$

б) Рассмотрим последовательность: $-7; a_2; -17; \dots; a_{15}; -82; a_{17}; \dots$

Известно, что $a_1 = -7$, $a_3 = -17$, $a_{15} = -82$, и $a_{17}$нужно найти.

Начнем с нахождения $a_2$

как среднего арифметического $a_1$ и $a_3$:

$$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} = \frac{-7 — 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12.$$

Теперь вычислим разность $d$ между $a_2$ и $a_1$:

$$d = a_2 — a_1 = -12 — (-7) = -12 + 7 = -5.$$

Теперь, зная разность прогрессии, можем найти недостающие члены:

$$a_{15} = a_1 + 14d = -7 + 14 \cdot (-5) = -7 — 70 = -77,$$

$$a_{17} = a_1 + 16d = -7 + 16 \cdot (-5) = -7 — 80 = -87.$$

Ответ: $-7; -12; -17; \dots; -77; -87; \dots$