ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 610 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Пусть последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия. Докажите, что если к каждому её члену прибавить одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией. Конкретизируйте это примером.

б) Докажите, что если каждый член некоторой арифметической прогрессии $(a_n)$ умножить на одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией. Конкретизируйте это примером.

а) Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d$:
$a_n = a_1 + d(n-1) = a_1 + dn — d$;
$a_{n+1} = a_1 + d(n+1-1) = a_1 + dn$;

1) Зададим последовательность $(b_n)$, каждый член которой равен сумме соответствующего члена прогрессии $(a_n)$ и некоторого числа $x$:
$b_n = a_1 + db — d + x$;
$b_{n+1} = a_1 + dn + x$;

2) Найдем разность между соседними членами последовательности $(b_n)$:
$b_{n+1} — b_n = a_1 + db + x — a_1 — db + d — x = d$;

3) Разность между любыми соседними членами постоянна и равна $d$, значит последовательность $(b_n)$ является арифметической прогрессией, что и требовалось доказать.

4) Приведем пример:
Арифметическая прогрессия: $1$; $3$; $5$; $7$; $9$; …
Прибавим к каждому члену 3, получим последовательность:
$4$; $6$; $8$; $10$; $12$; …
$d_1 = 6 — 4 = 2$;
$d_2 = 8 — 6 = 2$;
$d_3 = 10 — 8 = 2$;
$d_4 = 12 — 10 = 2$;
$d_1 = d_2 = d_3 = d_4$;

Является арифметической прогрессией;

б) Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d$:
$a_n = a_1 + d(n-1) = a_1 + dn — d$;
$a_{n+1} = a_1 + d(n+1-1) = a_1 + dn$;

1) Зададим последовательность $(b_n)$, каждый член которой равен произведению соответствующего члена прогрессии $(a_n)$ и некоторого числа $x$:
$b_n = x(a_1 + db — d) = xa_1 + xdb — xd$;
$b_{n+1} = x(a_1 + db) = xa_1 + xdb$;

2) Найдем разность между соседними членами последовательности $(b_n)$:
$b_{n+1} — b_n = xa_1 + xdb — xa_1 — xdb + xd = xd$;

3) Разность между любыми соседними членами постоянна и равна $xd$, значит последовательность $(b_n)$ является арифметической прогрессией, что и требовалось доказать.

4) Приведем пример:
Арифметическая прогрессия: $1$; $3$; $5$; $7$; $9$; …
Умножим каждый член на 4, получим последовательность:
$4$; $12$; $20$; $28$; $36$; …
$d_1 = 12 — 4 = 8$;
$d_2 = 20 — 12 = 8$;
$d_3 = 28 — 20 = 8$;
$d_4 = 36 — 28 = 8$;
$d_1 = d_2 = d_3 = d_4$;

Является арифметической прогрессией;

а) Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d$. В этом случае общее выражение для $n$-го члена прогрессии будет иметь вид:

$$a_n = a_1 + d(n — 1) = a_1 + dn — d,$$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена. Это выражение можно интерпретировать как сумму первого члена прогрессии $a_1$ и $(n-1)$ разностей $d$.

1. Рассмотрим последовательность $(b_n)$, каждый член которой является суммой соответствующего члена арифметической прогрессии $(a_n)$ и некоторого числа $x$:

$$b_n = a_1 + db — d + x.$$

Таким образом, каждый член последовательности $b_n$ представляет собой сумму соответствующего члена прогрессии $a_n$ с поправкой на число $x$. Следовательно, для следующего члена последовательности $b_{n+1}$ будет выполнено следующее выражение:

$$b_{n+1} = a_1 + dn + x.$$

Это означает, что $b_n$ зависит от $a_1$, разности $d$, и добавляется число $x$, которое остаётся постоянным для всех членов последовательности.

2. Теперь найдём разность между соседними членами последовательности $(b_n)$. Разность между $b_{n+1}$ и $b_n$ будет вычисляться как:

$$b_{n+1} — b_n = (a_1 + dn + x) — (a_1 + d(n — 1) + x) = a_1 + dn + x — a_1 — d(n — 1) — x.$$

После сокращения и упрощения получаем:

$$b_{n+1} — b_n = dn + x — d(n — 1) — x = d.$$

Мы видим, что разность между соседними членами последовательности $b_n$ равна $d$, которая является постоянной.

3. Таким образом, разность между любыми соседними членами последовательности $b_n$ постоянна и равна $d$, что является основным свойством арифметической прогрессии. Следовательно, последовательность $b_n$ также является арифметической прогрессией, что и требовалось доказать.

4. Приведем пример для иллюстрации. Рассмотрим арифметическую прогрессию:

$$1, 3, 5, 7, 9, \dots.$$

Теперь прибавим к каждому члену последовательности число 3, получаем:

$$4, 6, 8, 10, 12, \dots.$$

Посчитаем разности между соседними членами:

$$d_1 = 6 — 4 = 2,$$ $$d_2 = 8 — 6 = 2,$$ $$d_3 = 10 — 8 = 2,$$ $$d_4 = 12 — 10 = 2.$$

Мы видим, что разности между всеми соседними членами равны $2$, то есть $d_1 = d_2 = d_3 = d_4$, что подтверждает, что полученная последовательность также является арифметической прогрессией.

б) Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d$. Для каждого члена прогрессии можно записать следующее общее выражение:

$$a_n = a_1 + d(n — 1) = a_1 + dn — d,$$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность, а $n$ — номер члена. Это выражение описывает каждый член прогрессии в зависимости от $a_1$ и $d$.

1. Теперь определим последовательность $(b_n)$, каждый член которой равен произведению соответствующего члена прогрессии $(a_n)$ и некоторого числа $x$. Тогда $b_n$ будет выглядеть следующим образом:

$$b_n = x(a_1 + db — d) = xa_1 + xdb — xd.$$

Здесь число $x$ умножается на каждый член прогрессии $a_n$. Следовательно, для следующего члена последовательности $b_{n+1}$ получаем:

$$b_{n+1} = x(a_1 + db) = xa_1 + xdb.$$

Это означает, что каждый член последовательности $b_n$ является произведением числа $x$ и соответствующего члена прогрессии $a_n$.

2. Теперь найдём разность между соседними членами последовательности $(b_n)$. Разность между $b_{n+1}$ и $b_n$ будет вычисляться следующим образом:

$$b_{n+1} — b_n = (xa_1 + xdb) — (xa_1 + xdb — xd) = xa_1 + xdb — xa_1 — xdb + xd.$$

После сокращения получаем:

$$b_{n+1} — b_n = xd.$$

Мы видим, что разность между соседними членами последовательности $b_n$ равна $xd$, которая является постоянной для всех членов последовательности.

3. Разность между любыми соседними членами последовательности $b_n$ постоянна и равна $xd$, что подтверждает, что последовательность $b_n$ является арифметической прогрессией. Это и требовалось доказать.

4. Приведем пример для иллюстрации. Рассмотрим арифметическую прогрессию:

$$1, 3, 5, 7, 9, \dots.$$

Теперь умножим каждый член на 4, получаем:

$$4, 12, 20, 28, 36, \dots.$$

Посчитаем разности между соседними членами:

$$d_1 = 12 — 4 = 8,$$ $$d_2 = 20 — 12 = 8,$$ $$d_3 = 28 — 20 = 8,$$ $$d_4 = 36 — 28 = 8.$$

Мы видим, что разности между всеми соседними членами равны $8$, то есть $d_1 = d_2 = d_3 = d_4$, что подтверждает, что последовательность также является арифметической прогрессией.