ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 609 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если последовательность $(a_n)$ — арифметическая прогрессия, то её члены, взятые через один, также образуют арифметическую прогрессию. Конкретизируйте это примером.

1) Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d$:
$a_n = a_1 + d(n-1) = a_1 + dn — d$;
$a_{n-1} = a_n — d = a_1 + db — 2d$;
$a_{n+1} = a_n + d = a_1 + db$;

2) Зададим последовательность $(b_n)$: $a_1$; $a_3$; …; $a_{n-1}$; $a_{n+1}$; …

3) Найдем разность между соседними членами последовательности $(b_n)$:
$a_{n+1} — a_{n-1} = a_1 + db — (a_1 + db — 2d) = a_1 + db — a_1 — db + 2d = 2d$;

4) Разность между любыми соседними членами постоянна и равна $2d$, значит последовательность $(b_n)$ является арифметической прогрессией, что и требовалось доказать.

Приведем пример:
Арифметическая прогрессия: $1$; $5$; $9$; $13$; $17$; $21$; …
Последовательность членов, взятых через один: $1$; $9$; $17$; …
$d_1 = 9 — 1 = 8$;
$d_2 = 17 — 9 = 8$;
$d_1 = d_2$;

Является арифметической прогрессией.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d$. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — разность между любыми двумя последовательными членами прогрессии. Далее, для того чтобы выразить другие члены прогрессии, используем формулы для $a_n$, $a_{n-1}$, $a_{n+1}$:

$$a_{n-1} = a_n — d = a_1 + d(n — 1) — d = a_1 + d(n — 2)$$ $$a_{n+1} = a_n + d = a_1 + d(n — 1) + d = a_1 + d(n)$$

Теперь зададим последовательность $(b_n)$, которая состоит из членов прогрессии $(a_n)$, взятых через один:

$$b_n = a_1; a_3; a_5; \dots; a_{n-1}; a_{n+1}; \dots$$

Эта последовательность состоит из членов, расположенных через один, то есть каждый второй член из исходной прогрессии.

Далее вычислим разность между двумя соседними членами последовательности $(b_n)$, используя формулы для $a_{n+1}$ и $a_{n-1}$:

$$a_{n+1} — a_{n-1} = (a_1 + d(n)) — (a_1 + d(n — 2)) = a_1 + d(n) — a_1 — d(n — 2) = 2d$$

Как видно, разность между двумя соседними членами последовательности $(b_n)$ равна $2d$.

Поскольку разность между любыми соседними членами последовательности постоянна и равна $2d$, то последовательность $(b_n)$ является арифметической прогрессией, что и требовалось доказать.

Приведем пример:

Пусть дана арифметическая прогрессия: $1$; $5$; $9$; $13$; $17$; $21$; …

Последовательность членов, взятых через один, будет следующей:

$$1; 9; 17; \dots$$

Теперь найдем разность между соседними членами этой последовательности:

$$d_1 = 9 — 1 = 8$$ $$d_2 = 17 — 9 = 8$$

Как видим, разность между соседними членами постоянна и равна $8$, значит эта последовательность также является арифметической прогрессией.