ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 608 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите в общем случае свойство, сформулированное на с. 233: последовательность, заданная формулой a_n = kn + b, где k и b — некоторые числа, является арифметической прогрессией. Чему равна разность арифметической прогрессии, заданной этой формулой?
Подсказка. Используйте пример 5 в качестве образца рассуждения.

Последовательность: $a_n = kn + b$;

1) Найдем разность между двумя соседними членами:

$a_{n+1} — a_n = k(n + 1) + b — (kn + b) = kn + k + b — kn — b = k$;

2) Разность между любыми соседними членами постоянна и равна $k$, значит последовательность $a_n = kn + b$ является арифметической прогрессией, что и требовалось доказать.

Последовательность: $a_n = kn + b$;

1) Найдем разность между двумя соседними членами:

Для начала, разность между соседними членами арифметической прогрессии можно записать через разность между $a_{n+1}$ и $a_n$:

$$a_{n+1} — a_n = (k(n + 1) + b) — (kn + b)$$

Раскроем скобки и упростим:

$$a_{n+1} — a_n = k(n + 1) + b — kn — b$$

Здесь $kn$ и $-kn$ сокращаются, а также $b$ и $-b$ также исчезают. Оставшийся член:

$$a_{n+1} — a_n = k$$

Таким образом, разность между двумя соседними членами $a_{n+1}$ и $a_n$ равна $k$, который является постоянным значением, не зависящим от $n$. Это означает, что разность между соседними членами последовательности всегда постоянна и равна $k$.

2) Разность между любыми соседними членами постоянна и равна $k$, значит последовательность $a_n = kn + b$ является арифметической прогрессией, что и требовалось доказать.

Как мы видим, разность между любыми соседними членами последовательности равна $k$, а это по определению арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии разность между любыми двумя последовательными членами всегда постоянна. Следовательно, последовательность $a_n = kn + b$ является арифметической прогрессией.