ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 607 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии $(y_n)$ известны пятый и шестой члены: $y_5 = -150$ и $y_6 = -147$. Сколько членов этой прогрессии отрицательны? Проверьте свой ответ.

Арифметическая прогрессия $(y_n)$:

$y_5 = -150$ и $y_6 = -147$;

1) Разность и первый член прогрессии:

$d = y_6 — y_5 = -147 — (-150) = 150 — 147 = 3$;
$y_5 = y_1 + d(5 — 1) = y_1 + 4d$;
$y_1 = y_5 — 4d = -150 — 4 \cdot 3 = -150 — 12 = -162$;

2) Формула $n$-го члена прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n — 1)$;
$a_n = -162 + 3(n — 1) = -162 + 3n — 3 = 3n — 165$;

3) Последний отрицательный член:

$3n — 165 < 0$;
$3n < 165$;
$n < \frac{165}{3}$;
$n < 55, \text{ то есть } n = 54$;

4) Выполним проверку:

$n_{54} = 3 \cdot 54 — 165 = 162 — 165 = -3 < 0$;
$n_{55} = 3 \cdot 55 — 165 = 165 — 165 = 0$;

Ответ: 54.

Арифметическая прогрессия $(y_n)$:

Даны: $y_5 = -150$ и $y_6 = -147$.

1) Разность и первый член прогрессии:

Для того чтобы найти разность прогрессии $d$, воспользуемся формулой для разности арифметической прогрессии. Разность прогрессии вычисляется как разница между любыми двумя последовательными членами:

$$d = y_6 — y_5 = -147 — (-150) = -147 + 150 = 3$$

Теперь, зная разность прогрессии, можем вычислить первый член прогрессии $y_1$. Используем формулу для вычисления $n$-го члена прогрессии:

$$y_5 = y_1 + d(5 — 1) = y_1 + 4d$$

Подставим известные значения $y_5 = -150$ и $d = 3$:

$$-150 = y_1 + 4 \cdot 3$$

Теперь решим для $y_1$:

$$-150 = y_1 + 12$$ $$y_1 = -150 — 12 = -162$$

Таким образом, первый член прогрессии равен $y_1 = -162$.

2) Формула для $n$-го члена прогрессии:

Теперь, имея значение первого члена прогрессии и разность, можем записать общую формулу для любого $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$y_n = y_1 + d(n — 1)$$

Подставим известные значения для $y_1 = -162$ и $d = 3$:

$$y_n = -162 + 3(n — 1)$$

Раскроем скобки:

$$y_n = -162 + 3n — 3$$

Упростим:

$$y_n = 3n — 165$$

Это и есть формула для $n$-го члена арифметической прогрессии.

3) Первый отрицательный член:

Чтобы найти номер первого отрицательного члена, решим неравенство $y_n < 0$, подставив формулу для $y_n$:

$$3n — 165 < 0$$

Переносим $165$ на правую сторону:

$$3n < 165$$

Делим обе части на 3:

$$n < \frac{165}{3} = 55$$

Так как $n$ должно быть целым числом, минимальное значение $n$ для первого отрицательного члена равно $n = 55$.

4) Проверка:

Теперь проверим наш ответ, подставив $n = 54$ и $n = 55$ в формулу для $y_n$.

Для $n = 54$:

$$y_{54} = 3 \cdot 54 — 165 = 162 — 165 = -3$$

Этот член отрицателен, что подтверждает правильность результата.

Для $n = 55$:

$$y_{55} = 3 \cdot 55 — 165 = 165 — 165 = 0$$

Член $y_{55} = 0$ является нулевым, а не отрицательным.

Ответ: первый отрицательный член находится на 54-й позиции.