ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 602 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что $(a_n)$ — арифметическая прогрессия. Выразите:

$a_5$ и $a_{10}$ через $a_3$ и $d$;

$a_7$ и $a_{12}$ через $a_{10}$ и $d$;

$a_{n+2}$ и $a_{n-3}$ через $a_n$ и $d$.

1) $a_5$ и $a_{10}$ через $a_3$ и $d$:

$a_3 = a_1 + d(3 — 1) = a_1 + 2d;$
$a_5 = a_1 + d(5 — 1) = a_1 + 4d = a_3 + 2d;$
$a_{10} = a_1 + d(10 — 1) = a_1 + 9d = a_3 + 7d;$

2) $a_7$ и $a_{12}$ через $a_{10}$ и $d$:

$a_{10} = a_1 + d(10 — 1) = a_1 + 9d;$
$a_7 = a_1 + d(7 — 1) = a_1 + 6d = a_{10} — 3d;$
$a_{12} = a_1 + d(12 — 1) = a_1 + 11d = a_{10} + 2d;$

3) $a_{n+2}$ и $a_{n-3}$ через $a_n$ и $d$:

$a_n = a_1 + d(n — 1);$
$a_{n+2} = a_1 + d((n+2) — 1) = a_1 + dn + d = a_n + 2d;$
$a_{n-3} = a_1 + d((n-3) — 1) = a_1 + dn — 4d = a_n — 3d;$

1) $a_5$ и $a_{10}$ через $a_3$ и $d$:

Мы знаем, что арифметическая прогрессия задается формулой $a_n = a_1 + d(n — 1)$, где $a_n$ — $n$-й член прогрессии, $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — разность между соседними членами прогрессии.

Для выражения $a_5$ через $a_3$ и $d$, начнем с того, что записываем общую формулу для $a_5$:

$$a_5 = a_1 + d(5 — 1) = a_1 + 4d$$

Мы можем выразить $a_5$ через $a_3$, зная, что для $a_3$ формула будет следующей:

$$a_3 = a_1 + d(3 — 1) = a_1 + 2d$$

Из этого выражения видно, что $a_1 = a_3 — 2d$, и подставив в выражение для $a_5$, получаем:

$$a_5 = (a_3 — 2d) + 4d = a_3 + 2d$$

Ответ для $a_5$:

$$a_5 = a_3 + 2d$$

Теперь, для того чтобы выразить $a_{10}$ через $a_3$ и $d$, записываем формулу для $a_{10}$:

$$a_{10} = a_1 + d(10 — 1) = a_1 + 9d$$

Подставляем $a_1 = a_3 — 2d$ в это выражение:

$$a_{10} = (a_3 — 2d) + 9d = a_3 + 7d$$

Ответ для $a_{10}$:

$$a_{10} = a_3 + 7d$$

2) $a_7$ и $a_{12}$ через $a_{10}$ и $d$:

Для выражения $a_7$ через $a_{10}$ и $d$, начинаем с формулы для $a_7$:

$$a_7 = a_1 + d(7 — 1) = a_1 + 6d$$

Подставляем $a_1 = a_{10} — 9d$ в это выражение, так как $a_{10} = a_1 + 9d$:

$$a_7 = (a_{10} — 9d) + 6d = a_{10} — 3d$$

Ответ для $a_7$:

$$a_7 = a_{10} — 3d$$

Для выражения $a_{12}$ через $a_{10}$ и $d$, начинаем с формулы для $a_{12}$:

$$a_{12} = a_1 + d(12 — 1) = a_1 + 11d$$

Подставляем $a_1 = a_{10} — 9d$ в это выражение:

$$a_{12} = (a_{10} — 9d) + 11d = a_{10} + 2d$$

Ответ для $a_{12}$:

$$a_{12} = a_{10} + 2d$$

3) $a_{n+2}$ и $a_{n-3}$ через $a_n$ и $d$:

Начнем с выражения для $a_{n+2}$, используя формулу для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Для $a_{n+2}$ подставим $n+2$ вместо $n$ в формулу:

$$a_{n+2} = a_1 + d((n+2) — 1) = a_1 + d(n + 1)$$

Мы знаем, что $a_n = a_1 + d(n — 1)$, поэтому можно выразить $a_{n+2}$ как:

$$a_{n+2} = a_n + 2d$$

Ответ для $a_{n+2}$:

$$a_{n+2} = a_n + 2d$$

Теперь для $a_{n-3}$ подставим $n-3$ вместо $n$ в формулу для $a_n$:

$$a_{n-3} = a_1 + d((n-3) — 1) = a_1 + d(n — 4)$$

Мы знаем, что $a_n = a_1 + d(n — 1)$, и можем выразить $a_{n-3}$ как:

$$a_{n-3} = a_n — 3d$$

Ответ для $a_{n-3}$:

$$a_{n-3} = a_n — 3d$$