ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 591 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии $(a_n)$ известны $a_5$ и $a_6$:

$$…, 11; 7; …$$

Запишите все предшествующие члены этой прогрессии и все последующие до десятого члена включительно. Сколько положительных членов в этой прогрессии? Начиная с какого номера члены прогрессии отрицательные?

Арифметическая прогрессия $(a_n)$:

$a_5 = 11$ и $a_6 = 7$;

1) Найдем разность прогрессии:

$d = a_6 — a_5 = 7 — 11 = -4$;

2) Найдем первый член прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n — 1), \text{ отсюда } a_1 = a_n — d(n — 1);$
$a_1 = a_5 — d(5 — 1) = 11 — (-4) \cdot 4 = 11 + 16 = 27$;

3) Первые десять членов прогрессии:

$a_2 = a_1 + d = 27 — 4 = 23$;
$a_3 = a_2 + d = 23 — 4 = 19$;
$a_4 = a_3 + d = 19 — 4 = 15$;
$a_7 = a_6 + d = 7 — 4 = 3$;
$a_8 = a_7 + d = 3 — 4 = -1$;
$a_9 = a_8 + d = -1 — 4 = -5$;
$a_{10} = a_9 + d = -5 — 4 = -9$;

Последовательность: $27; 23; 19; 15; 11; 7; 3; -1; -5; -9; \dots$;

Все члены прогрессии отрицательны начиная с $n = 8$;

Всего положительных членов: 7.

Арифметическая прогрессия $(a_n)$:

$a_5 = 11$ и $a_6 = 7$;

1) Найдем разность прогрессии:

Для того чтобы найти разность прогрессии $d$, используем два соседних члена прогрессии $a_6$ и $a_5$. Разность прогрессии $d$ вычисляется как:

$$d = a_6 — a_5 = 7 — 11 = -4$$

Таким образом, разность прогрессии равна $d = -4$.

2) Найдем первый член прогрессии:

Для нахождения первого члена прогрессии $a_1$ используем формулу общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

Эту формулу можно преобразовать, чтобы выразить первый член прогрессии:

$$a_1 = a_n — d(n — 1)$$

Подставим известные значения для $a_5 = 11$, $d = -4$ и $n = 5$:

$$a_1 = a_5 — d(5 — 1) = 11 — (-4) \cdot 4 = 11 + 16 = 27$$

Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = 27$.

3) Первые десять членов прогрессии:

Теперь, зная первый член $a_1 = 27$ и разность прогрессии $d = -4$, можем найти первые десять членов последовательности. Для этого будем использовать формулу для общего члена прогрессии:

$$a_{n+1} = a_n + d$$

Для второго члена прогрессии $a_2$ имеем:

$$a_2 = a_1 + d = 27 — 4 = 23$$

Для третьего члена прогрессии $a_3$ имеем:

$$a_3 = a_2 + d = 23 — 4 = 19$$

Для четвертого члена прогрессии $a_4$ имеем:

$$a_4 = a_3 + d = 19 — 4 = 15$$

Для пятого члена прогрессии $a_5$ уже известно, что $a_5 = 11$.

Для шестого члена прогрессии $a_6$ имеем:

$$a_6 = a_5 + d = 11 — 4 = 7$$

Для седьмого члена прогрессии $a_7$ имеем:

$$a_7 = a_6 + d = 7 — 4 = 3$$

Для восьмого члена прогрессии $a_8$ имеем:

$$a_8 = a_7 + d = 3 — 4 = -1$$

Для девятого члена прогрессии $a_9$ имеем:

$$a_9 = a_8 + d = -1 — 4 = -5$$

Для десятого члена прогрессии $a_{10}$ имеем:

$$a_{10} = a_9 + d = -5 — 4 = -9$$

Таким образом, первые десять членов прогрессии:

$$27; 23; 19; 15; 11; 7; 3; -1; -5; -9; \dots$$

4) Положительные члены прогрессии:

Теперь рассмотрим, начиная с какого номера члены прогрессии становятся отрицательными. Из последовательности видно, что:

$a_1 = 27$ (положительный)

$a_2 = 23$ (положительный)

$a_3 = 19$ (положительный)

$a_4 = 15$ (положительный)

$a_5 = 11$ (положительный)

$a_6 = 7$ (положительный)

$a_7 = 3$ (положительный)

$a_8 = -1$ (отрицательный)

Таким образом, все члены прогрессии положительные до $n = 7$, начиная с $n = 8$ члены становятся отрицательными.

Ответ: Всего положительных членов: 7.