ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 590 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии (a_n), разность которой равна 12, известен восьмой член:
…; 54; … .
Восстановите начало прогрессии. Начиная с какого номера члены этой прогрессии положительны? Сколько в ней отрицательных членов?

Арифметическая прогрессия $(a_n)$:

$d = 12$, $a_8 = 54$;

1) Найдем первый член прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1), \text{ отсюда } a_1 = a_n — d(n — 1);$$ $$a_1 = a_8 — d(8 — 1) = 54 — 12 \cdot 7 = 54 — 84 = -30;$$

2) Начало прогрессии:

$$a_2 = a_1 + 12 = -30 + 12 = -18;$$ $$a_3 = a_2 + 12 = -18 + 12 = -6;$$ $$a_4 = a_3 + 12 = -6 + 12 = 6;$$ $$a_5 = a_4 + 12 = 6 + 12 = 18;$$ $$a_6 = a_5 + 12 = 18 + 12 = 30;$$ $$a_7 = a_6 + 12 = 30 + 12 = 42;$$

Последовательность: $-30; -18; -6; 6; 18; 30; 42; 54; \dots$;

Все члены прогрессии положительны начиная с $n = 4$;

Всего отрицательных членов: 3.

Арифметическая прогрессия $(a_n)$:

$d = 12$, $a_8 = 54$;

1) Найдем первый член прогрессии:

Для нахождения первого члена прогрессии воспользуемся формулой для общего члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + d(n — 1)$$

где $a_n$ — это $n$-й член прогрессии, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена. Из этой формулы мы можем выразить первый член прогрессии $a_1$:

$$a_1 = a_n — d(n — 1)$$

Подставим известные значения для $a_8 = 54$, $d = 12$, и $n = 8$:

$$a_1 = a_8 — d(8 — 1) = 54 — 12 \cdot 7 = 54 — 84 = -30$$

Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = -30$.

2) Начало прогрессии:

Теперь, зная первый член $a_1 = -30$ и разность прогрессии $d = 12$, можем найти следующие члены прогрессии, используя рекуррентную формулу:

$$a_{n+1} = a_n + d$$

Второй член последовательности $a_2$ вычисляется как:

$$a_2 = a_1 + d = -30 + 12 = -18$$

Третий член $a_3$ вычисляется как:

$$a_3 = a_2 + d = -18 + 12 = -6$$

Четвертый член $a_4$ вычисляется как:

$$a_4 = a_3 + d = -6 + 12 = 6$$

Пятый член $a_5$ вычисляется как:

$$a_5 = a_4 + d = 6 + 12 = 18$$

Шестой член $a_6$ вычисляется как:

$$a_6 = a_5 + d = 18 + 12 = 30$$

Седьмой член $a_7$ вычисляется как:

$$a_7 = a_6 + d = 30 + 12 = 42$$

Восьмой член $a_8$ уже известен, равен 54, что подтверждает правильность вычислений.

Последовательность:

$$-30; -18; -6; 6; 18; 30; 42; 54; \dots$$

Выводы:

Все члены прогрессии начиная с $n = 4$ являются положительными, так как начиная с $a_4 = 6$, каждый следующий член будет увеличиваться на 12.

Количество отрицательных членов прогрессии: 3.