ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 585 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Доказываем

а) Последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена:

$a_n = \frac{2n+1}{n}$.
Вычислите первые семь членов последовательности и изобразите их точками на координатной плоскости. Докажите, что все члены последовательности больше 2.

б) Последовательность $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена:

$b_n = \frac{2n-1}{n}$.
Вычислите первые семь членов последовательности и изобразите их точками на координатной плоскости. Докажите, что все члены последовательности меньше 2.

в) Последовательность $(y_n)$ задана формулой $n$-го члена:

$y_n = \frac{2n + (-1)^n}{n}$.
Вычислите первые семь членов последовательности и изобразите их точками на координатной плоскости. Докажите, что каждый следующий член последовательности ближе к 2, чем предыдущий.

а) $a_n = \frac{2n+1}{n}$:

$a_1 = \frac{2 \cdot 1 + 1}{1} = 2 + 1 = 3$;
$a_2 = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}$;
$a_3 = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}$;
$a_4 = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$;
$a_5 = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5} = 2 \frac{1}{5}$;
$a_6 = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6} = 2 \frac{1}{6}$;
$a_7 = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7} = 2 \frac{1}{7}$;

График последовательности:

$a_n = \frac{2n+1}{n} = 2 + \frac{1}{n}$;
Число $n$ натуральное, значит $\frac{1}{n} > 0$, тогда $2 + \frac{1}{n} > 2$.

б) $b_n = \frac{2n-1}{n}$:

$b_1 = \frac{2 \cdot 1 — 1}{1} = 2 — 1 = 1$;
$b_2 = \frac{2 \cdot 2 — 1}{2} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$;
$b_3 = \frac{2 \cdot 3 — 1}{3} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$;
$b_4 = \frac{2 \cdot 4 — 1}{4} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$;
$b_5 = \frac{2 \cdot 5 — 1}{5} = \frac{9}{5} = 1 \frac{4}{5}$;
$b_6 = \frac{2 \cdot 6 — 1}{6} = \frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6}$;
$b_7 = \frac{2 \cdot 7 — 1}{7} = \frac{13}{7} = 1 \frac{6}{7}$;

График последовательности:

$b_n = \frac{2n-1}{n} = 2 — \frac{1}{n}$;
Число $n$ натуральное, значит $\frac{1}{n} > 0$, тогда $2 — \frac{1}{n} < 2$.

в) $y_n = \frac{2n + (-1)^n}{n}$:

$y_1 = \frac{2 \cdot 1 + (-1)^1}{1} = 2 — 1 = 1$;
$y_2 = \frac{2 \cdot 2 + (-1)^2}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}$;
$y_3 = \frac{2 \cdot 3 + (-1)^3}{3} = \frac{6 — 1}{3} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$;
$y_4 = \frac{2 \cdot 4 + (-1)^4}{4} = \frac{8 + 1}{4} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$;
$y_5 = \frac{2 \cdot 5 + (-1)^5}{5} = \frac{10 — 1}{5} = \frac{9}{5} = 1 \frac{4}{5}$;
$y_6 = \frac{2 \cdot 6 + (-1)^6}{6} = \frac{12 + 1}{6} = \frac{13}{6} = 2 \frac{1}{6}$;
$y_7 = \frac{2 \cdot 7 + (-1)^7}{7} = \frac{14 — 1}{7} = \frac{13}{7} = 1 \frac{6}{7}$;

График последовательности:

$y_n = \frac{2n + (-1)^n}{n} = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$;
Расстояния от членов последовательности до числа два:
$|y_{n+1} — 2| = \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \right| = \frac{1}{n+1}$;
$|y_n — 2| = \left| \frac{(-1)^n}{n} \right| = \frac{1}{n}$;
Число $n$ натуральное, значит $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$.
То есть, каждый следующий член ближе к 2, чем предыдущий.

а) $a_n = \frac{2n+1}{n}$:

Для вычисления первых семи членов последовательности, подставим значения $n = 1, 2, 3, \dots, 7$ в формулу $a_n = \frac{2n+1}{n}$.

Для $a_1$:

$$a_1 = \frac{2 \cdot 1 + 1}{1} = \frac{3}{1} = 3$$

Для $a_2$:

$$a_2 = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}$$

Для $a_3$:

$$a_3 = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}$$

Для $a_4$:

$$a_4 = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$$

Для $a_5$:

$$a_5 = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5} = 2 \frac{1}{5}$$

Для $a_6$:

$$a_6 = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{13}{6} = 2 \frac{1}{6}$$

Для $a_7$:

$$a_7 = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7} = 2 \frac{1}{7}$$

График последовательности:

Теперь найдем формулу для $n$-го члена последовательности. Распишем $a_n = \frac{2n+1}{n}$:

$$a_n = \frac{2n+1}{n} = 2 + \frac{1}{n}$$

Число $n$ натуральное, и так как $\frac{1}{n} > 0$, то:

$$a_n > 2$$

б) $b_n = \frac{2n-1}{n}$:

Для вычисления первых семи членов последовательности, подставим значения $n = 1, 2, 3, \dots, 7$ в формулу $b_n = \frac{2n-1}{n}$.

Для $b_1$:

$$b_1 = \frac{2 \cdot 1 — 1}{1} = \frac{1}{1} = 1$$

Для $b_2$:

$$b_2 = \frac{2 \cdot 2 — 1}{2} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$$

Для $b_3$:

$$b_3 = \frac{2 \cdot 3 — 1}{3} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$$

Для $b_4$:

$$b_4 = \frac{2 \cdot 4 — 1}{4} = \frac{7}{4} = 1 \frac{3}{4}$$

Для $b_5$:

$$b_5 = \frac{2 \cdot 5 — 1}{5} = \frac{9}{5} = 1 \frac{4}{5}$$

Для $b_6$:

$$b_6 = \frac{2 \cdot 6 — 1}{6} = \frac{11}{6} = 1 \frac{5}{6}$$

Для $b_7$:

$$b_7 = \frac{2 \cdot 7 — 1}{7} = \frac{13}{7} = 1 \frac{6}{7}$$

График последовательности:

Теперь найдем формулу для $n$-го члена последовательности. Распишем $b_n = \frac{2n-1}{n}$:

$$b_n = \frac{2n-1}{n} = 2 — \frac{1}{n}$$

Число $n$ натуральное, и так как $\frac{1}{n} > 0$, то:

$$b_n < 2$$

в) $y_n = \frac{2n + (-1)^n}{n}$:

Для вычисления первых семи членов последовательности, подставим значения $n = 1, 2, 3, \dots, 7$ в формулу $y_n = \frac{2n + (-1)^n}{n}$.

Для $y_1$:

$$y_1 = \frac{2 \cdot 1 + (-1)^1}{1} = 2 — 1 = 1$$

Для $y_2$:

$$y_2 = \frac{2 \cdot 2 + (-1)^2}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}$$

Для $y_3$:

$$y_3 = \frac{2 \cdot 3 + (-1)^3}{3} = \frac{6 — 1}{3} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$$

Для $y_4$:

$$y_4 = \frac{2 \cdot 4 + (-1)^4}{4} = \frac{8 + 1}{4} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$$

Для $y_5$:

$$y_5 = \frac{2 \cdot 5 + (-1)^5}{5} = \frac{10 — 1}{5} = \frac{9}{5} = 1 \frac{4}{5}$$

Для $y_6$:

$$y_6 = \frac{2 \cdot 6 + (-1)^6}{6} = \frac{12 + 1}{6} = \frac{13}{6} = 2 \frac{1}{6}$$

Для $y_7$:

$$y_7 = \frac{2 \cdot 7 + (-1)^7}{7} = \frac{14 — 1}{7} = \frac{13}{7} = 1 \frac{6}{7}$$

График последовательности:

Теперь найдем формулу для $n$-го члена последовательности. Распишем $y_n = \frac{2n + (-1)^n}{n}$:

$$y_n = \frac{2n + (-1)^n}{n} = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$$

Теперь найдём разницу между $y_n$ и 2 для каждого члена последовательности:

Для $y_1 = 1$, разница с 2: $|1 — 2| = 1$

Для $y_2 = 2.5$, разница с 2: $|2.5 — 2| = 0.5$

Для $y_3 = 1.667$, разница с 2: $|1.667 — 2| = 0.333$

Для $y_4 = 2.25$, разница с 2: $|2.25 — 2| = 0.25$

Для $y_5 = 1.8$, разница с 2: $|1.8 — 2| = 0.2$

Для $y_6 = 2.167$, разница с 2: $|2.167 — 2| = 0.167$

Для $y_7 = 1.857$, разница с 2: $|1.857 — 2| = 0.143$

Мы видим, что разница между каждым членом последовательности и 2 уменьшается, что подтверждает, что каждый следующий член последовательности ближе к 2, чем предыдущий.