ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 584 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите первые шесть членов последовательности и найдите формулу $n$-го члена этой последовательности:

а) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = -a_n$;

б) $a_1 = -5$, $a_{n+1} = -a_n$.

а) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = -a_n$:

Первые шесть членов последовательности: $1; -1; 1; -1; 1; -1; \dots$
Формула $n$-го члена: $a_n = (-1)^{n-1}$;

б) $a_1 = -5$, $a_{n+1} = -a_n$:

Первые шесть членов последовательности: $-5; 5; -5; 5; -5; 5; \dots$
Формула $n$-го члена: $a_n = 5 \cdot (-1)^n$.

а) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = -a_n$:

Для вычисления первых шести членов последовательности, будем использовать рекуррентное соотношение $a_{n+1} = -a_n$, начиная с $a_1 = 1$. Подставляем значение $n = 1$:

• $a_1 = 1$
• Для $a_2$, используя рекуррентное соотношение $a_{n+1} = -a_n$, получаем:

  $$a_2 = -a_1 = -1$$

• Для $a_3$:

  $$a_3 = -a_2 = -(-1) = 1$$

• Для $a_4$:

  $$a_4 = -a_3 = -(1) = -1$$

• Для $a_5$:

  $$a_5 = -a_4 = -(-1) = 1$$

• Для $a_6$:

  $$a_6 = -a_5 = -(1) = -1$$

Таким образом, первые шесть членов последовательности:

$$1; -1; 1; -1; 1; -1; \dots$$

Для нахождения формулы $n$-го члена последовательности, заметим, что последовательность чередуется между $1$ и $-1$. Члены на нечетных номерах ($n = 1, 3, 5, \dots$) равны $1$, а на четных номерах ($n = 2, 4, 6, \dots$) равны $-1$. Это можно записать с помощью степени числа $-1$:

$$a_n = (-1)^{n-1}$$

Формула $n$-го члена последовательности:

$$a_n = (-1)^{n-1}$$

б) $a_1 = -5$, $a_{n+1} = -a_n$:

Для вычисления первых шести членов последовательности, начнем с $a_1 = -5$ и применим рекуррентное соотношение $a_{n+1} = -a_n$. Подставляем значение $n = 1$:

• $a_1 = -5$
• Для $a_2$, используя рекуррентное соотношение $a_{n+1} = -a_n$, получаем:

  $$a_2 = -a_1 = -(-5) = 5$$

• Для $a_3$:

  $$a_3 = -a_2 = -(5) = -5$$

• Для $a_4$:

  $$a_4 = -a_3 = -(-5) = 5$$

• Для $a_5$:

  $$a_5 = -a_4 = -(5) = -5$$

• Для $a_6$:

  $$a_6 = -a_5 = -(-5) = 5$$

Таким образом, первые шесть членов последовательности:

$$-5; 5; -5; 5; -5; 5; \dots$$

Для нахождения формулы $n$-го члена последовательности, также видим, что последовательность чередуется между $-5$ и $5$. Члены на нечетных номерах ($n = 1, 3, 5, \dots$) равны $-5$, а на четных номерах ($n = 2, 4, 6, \dots$) равны $5$. Это можно выразить через степень числа $(-1)^n$, так как $(-1)^n$ дает $-1$ на нечетных значениях $n$ и $1$ на четных значениях $n$. Умножив на 5, получаем формулу для $n$-го члена:

$$a_n = 5 \cdot (-1)^n$$

Формула $n$-го члена последовательности:

$$a_n = 5 \cdot (-1)^n$$