ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 582 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Последовательность $(y_n)$ задана формулой $n$-го члена:

$y_n=3^{n-5}$.

1) Выпишите все члены этой последовательности, большие $\frac{1}{10}$ и меньшие 10. Укажите номера этих членов.

2) Сравните отношения: $\frac{y_{10}}{y_9}$ и $\frac{y_{100}}{y_{99}}$.

Последовательность: $y_n=3^{n-5}$;

1) $y_1=3^{1-5}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}<\frac{1}{10}$;
$y_2=3^{2-5}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}<\frac{1}{10}$;
$y_3=3^{3-5}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$;
$y_4=3^{4-5}=\frac{1}{3}$;
$y_5=3^{5-5}=3^0=1$;
$y_6=3^{6-5}=3^1=3$;
$y_7=3^{7-5}=3^2=9$;
$y_8=3^{8-5}=3^3=27>10$;

Все члены последовательности большие $\frac{1}{10}$ и меньшие 10:
$y_3=\frac{1}{9}$; $y_4=\frac{1}{3}$; $y_5=1$; $y_6=3$; $y_7=9$;

2)$$\frac{y_{10}}{y_9}=\frac{3^{10-5}}{3^{9-5}}=\frac{3^5}{3^4}=3^{5-4}=3^1=3;$$

$$\frac{y_{100}}{y_{99}}=\frac{3^{100-5}}{3^{99-5}}=\frac{3^{95}}{3^{94}}=3^{95-94}=3;$$

Ответ: $\frac{y_{10}}{y_9}=\frac{y_{100}}{y_{99}}$.

Последовательность: $y_n=3^{n-5}$;

1) Нам необходимо выписать все члены последовательности $y_n=3^{n-5}$, которые больше $\frac{1}{10}$ и меньше 10. Для этого подставим различные значения $n$ и вычислим каждый член последовательности.

Для $y_1$:

$$y_1=3^{1-5}=3^{-4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}$$

Значение $\frac{1}{81}$ меньше $\frac{1}{10}$, поэтому не подходит.

Для $y_2$:

$$y_2=3^{2-5}=3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$$

Значение $\frac{1}{27}$ также меньше $\frac{1}{10}$, следовательно, не подходит.

Для $y_3$:

$$y_3=3^{3-5}=3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$$

Значение $\frac{1}{9}$ больше $\frac{1}{10}$, поэтому этот член подходит.

Для $y_4$:

$$y_4=3^{4-5}=3^{-1}=\frac{1}{3}$$

Значение $\frac{1}{3}$ больше $\frac{1}{10}$, этот член также подходит.

Для $y_5$:

$$y_5=3^{5-5}=3^0=1$$

Значение 1 больше $\frac{1}{10}$ и меньше 10, поэтому этот член подходит.

Для $y_6$:

$$y_6=3^{6-5}=3^1=3$$

Значение 3 больше $\frac{1}{10}$ и меньше 10, следовательно, этот член подходит.

Для $y_7$:

$$y_7=3^{7-5}=3^2=9$$

Значение 9 больше $\frac{1}{10}$ и меньше 10, этот член тоже подходит.

Для $y_8$:

$$y_8=3^{8-5}=3^3=27$$

Значение 27 больше 10, следовательно, этот член не подходит.

Теперь, выписываем все члены последовательности, которые больше $\frac{1}{10}$ и меньше 10:

$$y_3=\frac{1}{9};y_4=\frac{1}{3};y_5=1;y_6=3;y_7=9$$

2) Теперь рассмотрим отношение $\frac{y_{10}}{y_9}$. Подставим значения $n=10$ и $n=9$ в формулу для последовательности:

$$y_{10}=3^{10-5}=3^5=243$$$$y_9=3^{9-5}=3^4=81$$

Теперь находим отношение:

$$\frac{y_{10}}{y_9}=\frac{243}{81}=3$$

Теперь рассмотрим отношение $\frac{y_{100}}{y_{99}}$. Подставляем значения $n=100$ и $n=99$ в формулу для последовательности:

$$y_{100}=3^{100-5}=3^{95}$$$$y_{99}=3^{99-5}=3^{94}$$

Теперь находим отношение:

$$\frac{y_{100}}{y_{99}}=\frac{3^{95}}{3^{94}}=3^{95-94}=3^1=3$$

Ответ: $\frac{y_{10}}{y_9}=\frac{y_{100}}{y_{99}}$.