ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 581 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Последовательность $(z_n)$ задана формулой $n$-го члена:

$z_n = n — \frac{1}{n}$.

1) Выпишите все члены этой последовательности, меньшие 10. Сколько таких членов?

2) Сравните $z_{10} — z_9$ и $z_{100} — z_{99}$.

Последовательность: $z_n = n — \frac{1}{n}$;

1) $z_1 = 1 — \frac{1}{1} = 1 — 1 = 0$;
$z_2 = 2 — \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2} = 1,5$;
$z_3 = 3 — \frac{1}{3} = 2 \frac{2}{3}$;
$z_4 = 4 — \frac{1}{4} = 3,75$;
$z_5 = 5 — \frac{1}{5} = 4,8$;
$z_6 = 6 — \frac{1}{6} = 5 \frac{5}{6}$;
$z_7 = 7 — \frac{1}{7} = 6 \frac{6}{7}$;
$z_8 = 8 — \frac{1}{8} = 7 \frac{7}{8}$;
$z_9 = 9 — \frac{1}{9} = 8 \frac{8}{9}$;
$z_{10} = 10 — \frac{1}{10} = 9 \frac{9}{10} = 9,9$;
$z_{11} = 11 — \frac{1}{11} = 10 \frac{10}{11} > 10$;

Всего 10 членов последовательности, меньших десяти:
$0; 1,5; 2 \frac{2}{3}; 3,75; 4,8; 5 \frac{5}{6}; 6 \frac{6}{7}; 7 \frac{7}{8}; 8 \frac{8}{9}; 9 \frac{9}{10}$;

2) $z_{100} = 100 — \frac{1}{100} = 99 \frac{99}{100}$ и $z_{99} = 99 — \frac{1}{99} = 98 \frac{98}{99}$;
$z_{10} — z_9 = 9 \frac{9}{10} — 8 \frac{8}{9} = 9 \frac{81}{90} — 8 \frac{80}{90} = 1 \frac{1}{90}$;
$z_{100} — z_{99} = 99 \frac{99}{100} — 98 \frac{98}{99} = 99 \frac{9801}{9900} — 98 \frac{9800}{9900} = 1 \frac{1}{9900}$;

Ответ: $z_{10} — z_9 > z_{100} — z_{99}$.

Последовательность: $z_n = n — \frac{1}{n}$;

1) Нам необходимо выписать все члены последовательности, которые меньше 10, начиная с первого члена и до тех пор, пока значения последовательности не станут больше 10. Для этого подставляем значения $n$ в формулу последовательности и выполняем вычисления для каждого члена.

Для $z_1$:

$$z_1 = 1 — \frac{1}{1} = 1 — 1 = 0$$

Для $z_2$:

$$z_2 = 2 — \frac{1}{2} = 2 — 0,5 = 1,5$$

Для $z_3$:

$$z_3 = 3 — \frac{1}{3} = 3 — 0,3333… = 2 \frac{2}{3}$$

Для $z_4$:

$$z_4 = 4 — \frac{1}{4} = 4 — 0,25 = 3,75$$

Для $z_5$:

$$z_5 = 5 — \frac{1}{5} = 5 — 0,2 = 4,8$$

Для $z_6$:

$$z_6 = 6 — \frac{1}{6} = 6 — 0,1666… = 5 \frac{5}{6}$$

Для $z_7$:

$$z_7 = 7 — \frac{1}{7} = 7 — 0,1428… = 6 \frac{6}{7}$$

Для $z_8$:

$$z_8 = 8 — \frac{1}{8} = 8 — 0,125 = 7 \frac{7}{8}$$

Для $z_9$:

$$z_9 = 9 — \frac{1}{9} = 9 — 0,1111… = 8 \frac{8}{9}$$

Для $z_{10}$:

$$z_{10} = 10 — \frac{1}{10} = 10 — 0,1 = 9 \frac{9}{10} = 9,9$$

Для $z_{11}$:

$$z_{11} = 11 — \frac{1}{11} = 11 — 0,0909… = 10 \frac{10}{11} > 10$$

Таким образом, члены последовательности, которые меньше 10, это:

$$0; 1,5; 2 \frac{2}{3}; 3,75; 4,8; 5 \frac{5}{6}; 6 \frac{6}{7}; 7 \frac{7}{8}; 8 \frac{8}{9}; 9 \frac{9}{10}$$

Всего 10 членов.

2) Теперь сравним два выражения: $z_{10} — z_9$ и $z_{100} — z_{99}$.

Для $z_{10} — z_9$:

$$z_{10} — z_9 = 9 \frac{9}{10} — 8 \frac{8}{9}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$z_{10} — z_9 = \frac{9 \cdot 9}{10} — \frac{8 \cdot 9}{9} = \frac{81}{90} — \frac{80}{90} = \frac{1}{90}$$

Итак, $z_{10} — z_9 = 1 \frac{1}{90}$.

Теперь для $z_{100} — z_{99}$:

$$z_{100} — z_{99} = 99 \frac{99}{100} — 98 \frac{98}{99}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$z_{100} — z_{99} = \frac{99 \cdot 99}{100} — \frac{98 \cdot 99}{99} = \frac{9801}{9900} — \frac{9800}{9900} = \frac{1}{9900}$$

Итак, $z_{100} — z_{99} = 1 \frac{1}{9900}$.

Теперь сравним $z_{10} — z_9$ и $z_{100} — z_{99}$:

$$z_{10} — z_9 = 1 \frac{1}{90}, \quad z_{100} — z_{99} = 1 \frac{1}{9900}$$

Очевидно, что $1 \frac{1}{90} > 1 \frac{1}{9900}$, то есть:

$$z_{10} — z_9 > z_{100} — z_{99}$$

Ответ: $z_{10} — z_9 > z_{100} — z_{99}$.