ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 580 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Последовательность: $b_n = 0,1 \cdot 2^{n-1}$;

Последовательность $(x_n)$ задана формулой $n$-го члена:

$x_n = n^2 — n.$

а) Найдите $x_{10}$, $x_{15}$, $x_k$, $x_{k+1}$.

б) Каким членом этой последовательности является число 56? Число 110?

Последовательность: $x_n = n^2 — n$;

а) $x_{10} = 10^2 — 10 = 100 — 10 = 90;$
$x_{15} = 15^2 — 15 = 225 — 15 = 210;$
$x_k = k^2 — k;$
$x_{k+1} = (k+1)^2 — (k+1) = k^2 + 2k + 1 — k — 1 = k^2 + k;$

б) $x_n = n^2 — n = 56;$
$n^2 — n — 56 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225 = 15^2, \text{тогда:}$
$n_1 = \frac{1 — 15}{2} = -7 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{1 + 15}{2} = 8;$
Номер члена не может быть отрицательным:
$n \neq -7, \text{значит } n = 8;$
Ответ: 8.

$x_n = n^2 — n = 110;$
$n^2 — n — 110 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 110 = 1 + 440 = 441 = 21^2, \text{тогда:}$
$n_1 = \frac{1 — 21}{2} = -10 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{1 + 21}{2} = 11;$
Номер члена не может быть отрицательным:
$n \neq -10, \text{значит } n = 11;$
Ответ: 11.

Последовательность: $x_n = n^2 — n$;

а) Для нахождения значений последовательности на определённых позициях, необходимо подставить значения $n$ в формулу $x_n = n^2 — n$ и выполнить все необходимые вычисления.

Для $x_{10}$, подставляем $n = 10$:

$$x_{10} = 10^2 — 10 = 100 — 10 = 90$$

Таким образом, значение последовательности на 10-м месте равно 90.

Теперь для $x_{15}$, подставляем $n = 15$:

$$x_{15} = 15^2 — 15 = 225 — 15 = 210$$

Значение последовательности на 15-м месте равно 210.

Теперь давайте обобщим, как вычисляется значение последовательности для любого $k$. Формула последовательности имеет вид $x_k = k^2 — k$. Подставляем в неё $k$ и получаем:

$$x_k = k^2 — k$$

Теперь найдём выражение для следующего члена последовательности $x_{k+1}$. Для этого подставляем $k+1$ вместо $k$ в формулу:

$$x_{k+1} = (k+1)^2 — (k+1)$$

Раскрываем скобки:

$$x_{k+1} = (k^2 + 2k + 1) — (k + 1) = k^2 + 2k + 1 — k — 1 = k^2 + k$$

Таким образом, выражение для следующего члена последовательности $x_{k+1}$ получается:

$$x_{k+1} = k^2 + k$$

б) В этом пункте мы ищем значение $n$, при котором последовательность $x_n = n^2 — n$ равна заданному числу.
Для этого решим уравнение $x_n = 56$:

$$n^2 — n = 56$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$n^2 — n — 56 = 0$$

Это квадратное уравнение. Для его решения воспользуемся дискриминантом. Вычислим дискриминант $D$ по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

где $a = 1$, $b = -1$, $c = -56$. Подставляем значения:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$$

Теперь находим корни уравнения по формуле:

$$n_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем $b = -1$, $D = 225$, и $a = 1$:

$$n_1 = \frac{1 — 15}{2} = -7 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{1 + 15}{2} = 8$$

Поскольку номер члена последовательности не может быть отрицательным, то $n = 8$. Ответ: $n = 8$.

Теперь решим аналогичное уравнение для $x_n = 110$. Итак, уравнение будет:

$$n^2 — n = 110$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$n^2 — n — 110 = 0$$

Вычислим дискриминант для этого уравнения. $a = 1$, $b = -1$, $c = -110$:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441$$

Теперь находим корни уравнения:

$$n_1 = \frac{1 — 21}{2} = -10 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{1 + 21}{2} = 11$$

Поскольку номер члена последовательности не может быть отрицательным, то $n = 11$. Ответ: $n = 11$.