ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 576 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите правило, по которому строится последовательность, запишите следующие два числа в этой последовательности и задайте её формулой $n$-го члена. Найдите десятый и двадцатый члены последовательности.

а) $1; 4; 9; 16; 25; \dots$ ($c_n$);

б) $5; 10; 15; 20; 25; \dots$ ($x_n$);

в) $4; 5; 6; 7; 8; \dots$ ($a_n$);

г) $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \frac{1}{5}; \dots$ ($b_n$);

д) $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; \frac{1}{32}; \dots$ ($y_n$);

е) $\frac{2}{1}; \frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{5}{4}; \frac{6}{5}; \dots$ ($z_n$);

а) $1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; \dots$ ($c_n$);

Последовательность квадратов натуральных чисел:
$c_n = n^2;$
$c_{10} = 10^2 = 100;$
$c_{20} = 20^2 = 400;$

б) $5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; \dots$ ($x_n$);

Первый член последовательности равен $5$, а каждый последующий на $5$ единиц больше предыдущего:
$x_1 = 5 \quad \text{и} \quad x_n = x_{n-1} + 5;$
$x_n = 5 + 5(n — 1) = 5 + 5n — 5 = 5n;$
$x_{10} = 5 \cdot 10 = 50;$
$x_{20} = 5 \cdot 20 = 100;$

в) $4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; \dots$ ($a_n$);

Первый член последовательности равен $4$, а каждый последующий на $1$ единицу больше предыдущего:
$a_1 = 4 \quad \text{и} \quad a_n = a_{n-1} + 1;$
$a_n = 4 + 1 \cdot (n — 1) = 4 + n — 1 = n + 3;$
$a_{10} = 10 + 3 = 13;$
$a_{20} = 20 + 3 = 23;$

г) $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \frac{1}{5}; \frac{1}{6}; \frac{1}{7}; \dots$ ($b_n$);

Последовательность натуральных дробей, числитель которых равен единице, а знаменатель — натуральное число:
$b_n = \frac{1}{n};$
$b_{10} = \frac{1}{10};$
$b_{20} = \frac{1}{20};$

д) $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; \frac{1}{32}; \frac{1}{64}; \frac{1}{128}; \dots$ ($y_n$);

Последовательность натуральных дробей, числитель которых равен единице, а знаменатель — натуральная степень числа $2$:
$y_n = \frac{1}{2^n};$
$y_{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024};$
$y_{20} = \frac{1}{2^{20}} = \frac{1}{1048576};$

е) $\frac{2}{1}; \frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{5}{4}; \frac{6}{5}; \frac{7}{6}; \frac{8}{7}; \dots$ ($z_n$);

Последовательность дробей, знаменателем которых является натуральное число, а числитель на единицу больше знаменателя:
$z_n = \frac{n + 1}{n};$
$z_{10} = \frac{10 + 1}{10} = \frac{11}{10};$
$z_{20} = \frac{20 + 1}{20} = \frac{21}{20};$

а) $1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; \dots$ ($c_n$);

Последовательность состоит из квадратов натуральных чисел. Для нахождения каждого следующего элемента этой последовательности необходимо возвести в квадрат соответствующее натуральное число $n$. Таким образом, формула для $n$-го члена этой последовательности будет выглядеть следующим образом:

$$c_n = n^2$$

Для нахождения 10-го и 20-го члена последовательности подставим соответствующие значения $n$:

• Для $c_{10}$:

$$c_{10} = 10^2 = 100$$

• Для $c_{20}$:

$$c_{20} = 20^2 = 400$$

Ответ: $c_n = n^2$, $c_{10} = 100$, $c_{20} = 400$.

б) $5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; \dots$ ($x_n$);

В данной последовательности каждый элемент увеличивается на $5$ по сравнению с предыдущим. Это арифметическая последовательность, где разность между соседними членами равна $5$. Таким образом, для последовательности можно записать следующее рекуррентное соотношение:

$$x_1 = 5 \quad \text{и} \quad x_n = x_{n-1} + 5$$

Также можно выразить общее правило для $n$-го члена, используя формулу для арифметической прогрессии:

$$x_n = 5 + 5(n — 1) = 5 + 5n — 5 = 5n$$

Теперь вычислим 10-й и 20-й члены последовательности:

• Для $x_{10}$:

$$x_{10} = 5 \cdot 10 = 50$$

• Для $x_{20}$:

$$x_{20} = 5 \cdot 20 = 100$$

Ответ: $x_n = 5n$, $x_{10} = 50$, $x_{20} = 100$.

в) $4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; \dots$ ($a_n$);

Эта последовательность состоит из последовательных натуральных чисел, начиная с 4. Каждый следующий элемент увеличивается на 1 по сравнению с предыдущим. Таким образом, последовательность является арифметической с разностью $1$, и для её $n$-го члена можно записать следующее рекуррентное соотношение:

$$a_1 = 4 \quad \text{и} \quad a_n = a_{n-1} + 1$$

Преобразуем это в явную формулу для $n$-го члена:

$$a_n = 4 + 1 \cdot (n — 1) = 4 + n — 1 = n + 3$$

Теперь вычислим 10-й и 20-й члены последовательности:

• Для $a_{10}$:

$$a_{10} = 10 + 3 = 13$$

• Для $a_{20}$:

$$a_{20} = 20 + 3 = 23$$

Ответ: $a_n = n + 3$, $a_{10} = 13$, $a_{20} = 23$.

г) $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \frac{1}{5}; \frac{1}{6}; \frac{1}{7}; \dots$ ($b_n$);

Эта последовательность состоит из дробей, в которых числитель всегда равен 1, а знаменатель является натуральным числом. Формула для $n$-го члена последовательности будет выглядеть так:

$$b_n = \frac{1}{n}$$

Теперь вычислим 10-й и 20-й члены последовательности:

• Для $b_{10}$:

$$b_{10} = \frac{1}{10}$$

• Для $b_{20}$:

$$b_{20} = \frac{1}{20}$$

Ответ: $b_n = \frac{1}{n}$, $b_{10} = \frac{1}{10}$, $b_{20} = \frac{1}{20}$.

д) $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; \frac{1}{32}; \frac{1}{64}; \frac{1}{128}; \dots$ ($y_n$);

Эта последовательность состоит из дробей, числитель которых равен 1, а знаменатель является степенью числа 2. Формула для $n$-го члена последовательности будет следующей:

$$y_n = \frac{1}{2^n}$$

Теперь вычислим 10-й и 20-й члены последовательности:

• Для $y_{10}$:

$$y_{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$$

• Для $y_{20}$:

$$y_{20} = \frac{1}{2^{20}} = \frac{1}{1048576}$$

Ответ: $y_n = \frac{1}{2^n}$, $y_{10} = \frac{1}{1024}$, $y_{20} = \frac{1}{1048576}$.

е) $\frac{2}{1}; \frac{3}{2}; \frac{4}{3}; \frac{5}{4}; \frac{6}{5}; \frac{7}{6}; \frac{8}{7}; \dots$ ($z_n$);

Эта последовательность состоит из дробей, числитель которых на единицу больше знаменателя. Формула для $n$-го члена последовательности:

$$z_n = \frac{n + 1}{n}$$

Теперь вычислим 10-й и 20-й члены последовательности:

• Для $z_{10}$:

$$z_{10} = \frac{10 + 1}{10} = \frac{11}{10}$$

• Для $z_{20}$:

$$z_{20} = \frac{20 + 1}{20} = \frac{21}{20}$$

Ответ: $z_n = \frac{n + 1}{n}$, $z_{10} = \frac{11}{10}$, $z_{20} = \frac{21}{20}$.