ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 575 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Николай начал заниматься в тренажёрном зале. Используя калькулятор, заполните таблицу и запишите формулу, по которой можно вычислить время занятий Николая в n-й день, если в первый день он занимался 10 мин, а в каждый следующий день увеличивал время занятий в 1,1 раза.

Через три недели Николай перестал увеличивать время занятий. Сколько минут он стал проводить в тренажёрном зале?

1) Формула $n$-го члена последовательности:
$a_1 = 10$ и $a_n = 1,1 \cdot a_{n-1}$;
$a_n = 10 \cdot 1,1^{n-1}$;

2) Таблица значений первых шести членов последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{День занятий} & \text{Длительность занятий (в минутах)} & \text{Правило вычисления} \\ \hline 1 & 10 & 10 \\ \hline 2 & 10 \cdot 1,1 = 11 & 10 \cdot 1,1 \\ \hline 3 & (10 \cdot 1,1) \cdot 1,1 = 12,1 \approx 12 & 10 \cdot 1,1^2 \\ \hline 4 & ((10 \cdot 1,1) \cdot 1,1) \cdot 1,1 = 13,31 \approx 13 & 10 \cdot 1,1^3 \\ \hline 5 & (((10 \cdot 1,1) \cdot 1,1) \cdot 1,1) \cdot 1,1 = 14,641 \approx 15 & 10 \cdot 1,1^4 \\ \hline 6 & ((((10 \cdot 1,1) \cdot 1,1) \cdot 1,1) \cdot 1,1) \cdot 1,1 = 16,1051 \approx 16 & 10 \cdot 1,1^5 \\ \hline \end{array}$$

3) Длительность одного занятия через 3 недели (21 день):
$a_{21} = 10 \cdot 1,1^{21-1} = 10 \cdot 1,1^{20} \approx 10 \cdot 6,7 \approx 67$ (мин);
Ответ: 67 минут.

1) Формула $n$-го члена последовательности:
Рассмотрим последовательность $a_n$, где первый элемент $a_1 = 10$, и каждый последующий элемент равен предыдущему, умноженному на коэффициент 1.1. Это геометрическая последовательность с первым членом $a_1 = 10$ и коэффициентом умножения $r = 1.1$. Формула для общего члена $a_n$ данной последовательности выглядит так:

$$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$

Подставляя $a_1 = 10$ и $r = 1.1$, получаем:

$$a_n = 10 \cdot 1.1^{n-1}$$

Это и есть формула для $n$-го члена последовательности. Каждое значение последовательности получается из предыдущего умножением на 1.1.

2) Таблица значений первых шести членов последовательности:
Для вычисления первых шести членов последовательности используем формулу $a_n = 10 \cdot 1.1^{n-1}$, подставляя значения от $n = 1$ до $n = 6$:

Для $n = 1$:

$$a_1 = 10 \cdot 1.1^{1-1} = 10 \cdot 1.1^0 = 10 \cdot 1 = 10$$

Для $n = 2$:

$$a_2 = 10 \cdot 1.1^{2-1} = 10 \cdot 1.1^1 = 10 \cdot 1.1 = 11$$

Для $n = 3$:

$$a_3 = 10 \cdot 1.1^{3-1} = 10 \cdot 1.1^2 = 10 \cdot 1.21 = 12.1 \approx 12$$

Для $n = 4$:

$$a_4 = 10 \cdot 1.1^{4-1} = 10 \cdot 1.1^3 = 10 \cdot 1.331 = 13.31 \approx 13$$

Для $n = 5$:

$$a_5 = 10 \cdot 1.1^{5-1} = 10 \cdot 1.1^4 = 10 \cdot 1.4641 = 14.641 \approx 15$$

Для $n = 6$:

$$a_6 = 10 \cdot 1.1^{6-1} = 10 \cdot 1.1^5 = 10 \cdot 1.61051 = 16.1051 \approx 16$$

Итак, первые шесть членов последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{День занятий} & \text{Длительность занятий (в минутах)} & \text{Правило вычисления} \\ \hline 1 & 10 & 10 \\ \hline 2 & 10 \cdot 1.1 = 11 & 10 \cdot 1.1 \\ \hline 3 & (10 \cdot 1.1) \cdot 1.1 = 12.1 \approx 12 & 10 \cdot 1.1^2 \\ \hline 4 & ((10 \cdot 1.1) \cdot 1.1) \cdot 1.1 = 13.31 \approx 13 & 10 \cdot 1.1^3 \\ \hline 5 & (((10 \cdot 1.1) \cdot 1.1) \cdot 1.1) \cdot 1.1 = 14.641 \approx 15 & 10 \cdot 1.1^4 \\ \hline 6 & ((((10 \cdot 1.1) \cdot 1.1) \cdot 1.1) \cdot 1.1) \cdot 1.1 = 16.1051 \approx 16 & 10 \cdot 1.1^5 \\ \hline \end{array}$$

3) Длительность одного занятия через 3 недели (21 день):
Для того чтобы найти длительность занятия через 3 недели (или 21 день), мы подставляем $n = 21$ в формулу для $a_n$:

$$a_{21} = 10 \cdot 1.1^{21-1} = 10 \cdot 1.1^{20}$$

Число $1.1^{20}$ можно приближенно вычислить:

$$1.1^{20} \approx 6.7$$

Теперь подставляем:

$$a_{21} \approx 10 \cdot 6.7 = 67$$

Ответ: 67 минут.