ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 569 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пусть $(c_n)$ — последовательность правильных несократимых дробей со знаменателем 100.

а) Заполните таблицу, занеся в неё первые десять членов этой последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Номер члена} & 1 & 2 & \dots & 10 \\ \hline \text{Обозначение} & c_1 & c_2 & & \\ \hline \text{Член последовательности} & \frac{1}{100} & \frac{3}{100} & & \\ \hline \end{array}$$

б) Закончите равенства: $c_5 = \dots$, $c_9 = \dots$, $c_{12} = \dots$.

в) Укажите номер члена последовательности, равного $\frac{3}{100}$, $\frac{17}{100}$, $\frac{29}{100}$.

г) Найдите последний член этой последовательности и укажите его номер.

$(c_n)$ — последовательность правильных несократимых дробей со знаменателем 100, то есть числителями дробей являются числа не кратные: $2, 4, 5, 10, 20, 25, 50$ (делителями числа 100);

а) Таблица значений первых десяти членов последовательности:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Номер члена} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \text{Обозначение} & c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & c_5 & c_6 & c_7 & c_8 & c_9 & c_{10} \\ \hline \text{Член последовательности} & \frac{1}{100} & \frac{3}{100} & \frac{7}{100} & \frac{9}{100} & \frac{11}{100} & \frac{13}{100} & \frac{17}{100} & \frac{19}{100} & \frac{21}{100} & \frac{23}{100} \\ \hline \end{array}$$

б) $c_5 = \frac{11}{100}$, $c_9 = \frac{21}{100}$, $c_{12} = \frac{29}{100}$;

в) $\frac{3}{100} = c_2$, $\frac{17}{100} = c_7$, $\frac{29}{100} = c_{12}$;

г) Последний член последовательности:

1) Так как числа $4, 10, 20, 25, 50$ кратны $2$ или $5$, то числитель искомой дроби не должен быть кратным $2$ или $5$;

2) Чисел, кратных двум: $\frac{100}{2} = 50$;

3) Чисел, кратных пяти: $\frac{100}{5} = 20$;

4) При этом каждое второе число кратное пяти, кратно и двум, значит всего чисел кратных и двум и пяти:

$$50 + 20 — 20 \cdot \frac{1}{2} = 50 + 20 — 10 = 60;$$

5) Всего чисел не кратных ни двум, ни пяти:

$$100 — 60 = 40;$$

6) Ближайшее к $100$ такое число — это число $99$;

Ответ: $c_{40} = \frac{99}{100}$.

Пусть $(c_n)$ — последовательность правильных несократимых дробей со знаменателем 100. Это означает, что числители дробей не могут быть кратными числам, которые делят 100, то есть $2, 4, 5, 10, 20, 25, 50$. Мы ищем дроби, числители которых не делятся на эти числа.

Сначала заполним таблицу для первых десяти членов последовательности. Начнем с того, что будем находить числители, которые не делятся на 2, 4, 5, 10, 20, 25 или 50. Порядок чисел от 1 до 100 с такими характеристиками будет следующим:

$$\frac{1}{100}, \frac{3}{100}, \frac{7}{100}, \frac{9}{100}, \frac{11}{100}, \frac{13}{100}, \frac{17}{100}, \frac{19}{100}, \frac{21}{100}, \frac{23}{100}$$

Таким образом, таблица для первых десяти членов последовательности будет следующей:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Номер члена} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \text{Обозначение} & c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & c_5 & c_6 & c_7 & c_8 & c_9 & c_{10} \\ \hline \text{Член последовательности} & \frac{1}{100} & \frac{3}{100} & \frac{7}{100} & \frac{9}{100} & \frac{11}{100} & \frac{13}{100} & \frac{17}{100} & \frac{19}{100} & \frac{21}{100} & \frac{23}{100} \\ \hline \end{array}$$

Теперь определим значения для $c_5$, $c_9$ и $c_{12}$. Мы видим, что для $c_5$ числитель равен 11, для $c_9$ — 21, и для $c_{12}$ числитель равен 29. Таким образом:

$$c_5 = \frac{11}{100}, \quad c_9 = \frac{21}{100}, \quad c_{12} = \frac{29}{100}$$

Найдем, какие члены последовательности соответствуют дробям $\frac{3}{100}$, $\frac{17}{100}$, и $\frac{29}{100}$. Мы видим, что:

$$\frac{3}{100} = c_2, \quad \frac{17}{100} = c_7, \quad \frac{29}{100} = c_{12}$$

Чтобы найти последний член последовательности, необходимо учитывать, что числители дробей не могут быть кратными числам $2, 4, 5, 10, 20, 25, 50$. Всего чисел от 1 до 100 — это 100 чисел. Из них числа, кратные 2, составляют $\frac{100}{2} = 50$, числа, кратные 5, составляют $\frac{100}{5} = 20$, и каждое второе число, кратное 5, также кратно 2. Следовательно, количество чисел, кратных и 2, и 5, составляют:

$$50 + 20 — \frac{20}{2} = 50 + 20 — 10 = 60$$

Чисел, не кратных ни 2, ни 5, будет:

$$100 — 60 = 40$$

Ближайшее к 100 число, не кратное ни 2, ни 5, — это 99.

Ответ: $c_{40} = \frac{99}{100}$.