ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 568 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Пусть $(a_n)$ — последовательность треугольных чисел (рис. 4.2).

а) Заполните таблицу, вычислив первые восемь членов этой последовательности.

б) Найдите $a_9$, $a_{10}$.

Как видно по рисунку, члены последовательности задаются формулой:
$a_1 = 1$, $a_2 = 1 + 2$, $a_n = 1 + 2 + \cdots + n$;

а) Таблица значений первых восьми членов последовательности:

б) Значения девятого и десятого членов последовательности:
$a_9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$;
$a_{10} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55$;

Члены последовательности треугольных чисел задаются формулой:

$$a_1 = 1, \quad a_2 = 1 + 2, \quad a_n = 1 + 2 + \cdots + n$$

Это означает, что каждый следующий член последовательности получается путем сложения всех натуральных чисел от 1 до $n$. Таким образом, $a_n$ представляет собой сумму первых $n$ натуральных чисел. Например, для $a_3$ мы складываем числа 1, 2 и 3:

$$a_3 = 1 + 2 + 3 = 6$$

Заполним таблицу для первых восьми членов последовательности. Мы будем использовать формулу для вычисления каждого члена:

$$a_1 = 1$$ $$a_2 = 1 + 2 = 3$$ $$a_3 = 1 + 2 + 3 = 6$$ $$a_4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$$ $$a_5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$ $$a_6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$$ $$a_7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$$ $$a_8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36$$

Таким образом, таблица будет следующей:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{Номер члена} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline \text{Обозначение} & a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & a_5 & a_6 & a_7 & a_8 \\ \hline \text{Член последовательности} & 1 & 3 & 6 & 10 & 15 & 21 & 28 & 36 \\ \end{array}$$

Теперь найдем значения девятого и десятого членов последовательности:

• Для $a_9$ складываем все числа от 1 до 9:

$$a_9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$$

• Для $a_{10}$ складываем все числа от 1 до 10:

$$a_{10} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55$$

Ответ: $a_9 = 45$, $a_{10} = 55$.