ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 555 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите координаты точек пересечения графиков функций:

а) $y = \frac{8}{x — 1}$ и $y = x + 1;$

б) $y = x$ и $y = \frac{12}{x + 4}.$

а) $y = \frac{8}{x — 1}$ и $y = x + 1:$

$\frac{8}{x — 1} = x + 1 \quad | \cdot (x — 1);$

$8 = (x — 1)(x + 1);$

$8 = x^2 — 1;$

$x^2 = 9,$ отсюда $x = \pm 3;$

$y_1 = -3 + 1 = -2;$

$y_2 = 3 + 1 = 4;$

Выражение имеет смысл при:

$x — 1 \neq 0,$ отсюда $x \neq 1;$

Ответ: $(-3; -2)$ и $(3; 4).$

б) $y = x$ и $y = \frac{12}{x + 4}:$

$x = \frac{12}{x + 4} \quad | \cdot (x + 4);$

$x(x + 4) = 12;$

$x^2 + 4x — 12 = 0;$

$D = 4^2 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64,$ тогда:

$x_1 = \frac{-4 — 8}{2} = -6$ и $x_2 = \frac{-4 + 8}{2} = 2;$

$y_1 = -6$ и $y_2 = 2;$

Выражение имеет смысл при:

$x + 4 \neq 0,$ отсюда $x \neq -4;$

Ответ: $(-6; -6)$ и $(2; 2).$

а) $y = \frac{8}{x — 1}$ и $y = x + 1:$

Приравняем обе функции:

$$\frac{8}{x — 1} = x + 1.$$

Умножим обе части уравнения на $(x — 1)$, чтобы избавиться от дроби:

$$8 = (x — 1)(x + 1).$$

Теперь раскроем скобки:

$$8 = x^2 — 1.$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$x^2 — 1 — 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 9 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение:

$$x^2 = 9.$$

Извлекаем квадратный корень:

$$x = \pm 3.$$

Для $x = 3$, подставляем в $y = x + 1$:

$$y_2 = 3 + 1 = 4.$$

Для $x = -3$, подставляем в $y = x + 1$:

$$y_1 = -3 + 1 = -2.$$

Убедимся, что оба значения $x$ не приводят к делению на ноль. Для $x — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq 1$, что выполняется для обоих значений $x$.

Ответ: $(-3; -2)$ и $(3; 4).$

б) $y = x$ и $y = \frac{12}{x + 4}:$

Приравняем обе функции:

$$x = \frac{12}{x + 4}.$$

Умножим обе части уравнения на $(x + 4)$, чтобы избавиться от дроби:

$$x(x + 4) = 12.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + 4x = 12.$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$x^2 + 4x — 12 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение с использованием дискриминанта $D$:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64.$$

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

$$x_1 = \frac{-4 — \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 — 8}{2} = -6, \quad x_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = 2.$$

Для $x_1 = -6$, подставляем в $y = x$:

$$y_1 = -6.$$

Для $x_2 = 2$, подставляем в $y = x$:

$$y_2 = 2.$$

Убедимся, что оба значения $x$ не приводят к делению на ноль. Для $x + 4 \neq 0$, отсюда $x \neq -4$, что выполняется для обоих значений $x$.

Ответ: $(-6; -6)$ и $(2; 2).$