ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 554 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений $\begin{cases} (x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 18 \\ (x — 1)(y — 2) = 9 \end{cases}$ с помощью подходящей замены.

$\begin{cases} (x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 18 \\ (x — 1)(y — 2) = 9 \end{cases}$

1) Пусть $a = x — 1$ и $b = y — 2$, тогда:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 18 \\ ab = 9 \end{cases} \quad => \quad \begin{cases} a^2 + b^2 — 18 = 0 \\ b = \frac{9}{a} \end{cases};$

$a^2 + \left(\frac{9}{a}\right)^2 — 18 = 0;$

$a^2 + \frac{81}{a^2} — 18 = 0 \quad | \cdot a^2;$

$a^4 — 18a^2 + 81 = 0;$

$(a^2 — 9)^2 = 0;$

$a^2 — 9 = 0,$ отсюда $a = \pm 3;$

$b_1 = \frac{9}{-3} = -3$ и $b_2 = \frac{9}{3} = 3;$

2) Первое значение:

$x — 1 = -3,$ отсюда $x = -3 + 1 = -2;$

$y — 2 = -3,$ отсюда $y = -3 + 2 = -1;$

3) Второе значение:

$x — 1 = 3,$ отсюда $x = 3 + 1 = 4;$

$y — 2 = 3,$ отсюда $y = 3 + 2 = 5;$

Ответ: $(-2; -1)$ и $(4; 5).$

$\begin{cases} (x — 1)^2 + (y — 2)^2 = 18 \\ (x — 1)(y — 2) = 9 \end{cases}$

Пусть $a = x — 1$ и $b = y — 2$, тогда:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 18 \\ ab = 9 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} a^2 + b^2 — 18 = 0 \\ b = \frac{9}{a} \end{cases};$

Теперь подставим выражение для $b$ в первое уравнение $a^2 + b^2 — 18 = 0$:

$$a^2 + \left( \frac{9}{a} \right)^2 — 18 = 0,$$

расширим:

$$a^2 + \frac{81}{a^2} — 18 = 0.$$

Теперь умножим обе части уравнения на $a^2$, чтобы избавиться от дроби:

$$a^4 + 81 — 18a^2 = 0.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$a^4 — 18a^2 + 81 = 0.$$

Теперь выделим полный квадрат:

$$(a^2 — 9)^2 = 0.$$

Решаем это уравнение:

$$a^2 — 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad a = \pm 3.$$

Теперь найдем $b$. Подставим значения $a = 3$ и $a = -3$ в $b = \frac{9}{a}$:

Для $a = 3$:

$$b_2 = \frac{9}{3} = 3.$$

Для $a = -3$:

$$b_1 = \frac{9}{-3} = -3.$$

Теперь, зная $a$ и $b$, найдем $x$ и $y$. Напомним, что $a = x — 1$ и $b = y — 2$, отсюда:

Для $a_1 = -3$ и $b_1 = -3$:

$$x = -3 + 1 = -2, \quad y = -3 + 2 = -1.$$

Для $a_2 = 3$ и $b_2 = 3$:

$$x = 3 + 1 = 4, \quad y = 3 + 2 = 5.$$

Ответ: $(-2; -1)$ и $(4; 5)$.