ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 553 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $\begin{cases} xy = 3 \\ (x + 1)(y + 1) = 8; \end{cases}$

$\begin{cases} xy = 3 \\ xy + x + y + 1 = 8; \end{cases}$

$\begin{cases} xy = 3 \\ 3 + x + y + 1 = 8 \end{cases} \quad => \quad \begin{cases} xy — 3 = 0 \\ x + y = 4 \end{cases} \quad => \quad \begin{cases} xy — 3 = 0 \\ y = 4 — x \end{cases};$

$x(4 — x) — 3 = 0;$

$4x — x^2 — 3 = 0 \quad | : (-1);$

$x^2 — 4x + 3 = 0;$

$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4,$ тогда:

$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;$

$y_1 = 4 — 1 = 3$ и $y_2 = 4 — 3 = 1;$

Ответ: $(1; 3)$ и $(3; 1).$

б) $\begin{cases} xy = -4 \\ (x + 1)(y — 1) = -10; \end{cases}$

$\begin{cases} xy = -4 \\ xy + y — x — 1 = -10; \end{cases}$

$\begin{cases} xy = -4 \\ -4 + y — x — 1 = -10 \end{cases} \quad => \quad \begin{cases} xy = -4 \\ y — x = -5 \end{cases} \quad => \quad \begin{cases} xy + 4 = 0 \\ y = x — 5 \end{cases};$

$x(x — 5) + 4 = 0;$

$x^2 — 5x + 4 = 0;$

$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9,$ тогда:

$x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;$

$y_1 = 1 — 5 = -4$ и $y_2 = 4 — 5 = -1;$

Ответ: $(1; -4)$ и $(4; -1).$

а) $\begin{cases} xy = 3 \\ (x + 1)(y + 1) = 8; \end{cases}$

Первое уравнение $xy = 3$ говорит нам о том, что произведение переменных $x$ и $y$ равно 3.

Второе уравнение $(x + 1)(y + 1) = 8$ раскроем, используя распределительный закон:

$$(x + 1)(y + 1) = xy + x + y + 1.$$

Теперь подставим значение $xy = 3$ из первого уравнения:

$$3 + x + y + 1 = 8.$$

Упростим:

$$x + y + 4 = 8,$$ $$x + y = 4.$$

Таким образом, у нас есть система:

$$\begin{cases} xy = 3 \\ x + y = 4. \end{cases}$$

Из второго уравнения $x + y = 4$ выразим $y$ через $x$:

$$y = 4 — x.$$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение $xy = 3$:

$$x(4 — x) = 3.$$

Раскроем скобки:

$$4x — x^2 = 3.$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$-x^2 + 4x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 4x + 3 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4.$$

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

$$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3.$$

Подставим полученные значения $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$ в $y = 4 — x$:

Для $x_1 = 1$:

$$y_1 = 4 — 1 = 3.$$

Для $x_2 = 3$:

$$y_2 = 4 — 3 = 1.$$

Ответ: $(1; 3)$ и $(3; 1)$.

б) $\begin{cases} xy = -4 \\ (x + 1)(y — 1) = -10; \end{cases}$

Первое уравнение $xy = -4$ говорит нам, что произведение переменных $x$ и $y$ равно -4.

Второе уравнение $(x + 1)(y — 1) = -10$ раскроем, используя распределительный закон:

$$(x + 1)(y — 1) = xy — x + y — 1.$$

Теперь подставим значение $xy = -4$ из первого уравнения:

$$-4 — x + y — 1 = -10.$$

Упростим:

$$— x + y — 5 = -10,$$ $$— x + y = -5.$$

Таким образом, у нас есть система:

$$\begin{cases} xy = -4 \\ — x + y = -5. \end{cases}$$

Из второго уравнения $— x + y = -5$ выразим $y$ через $x$:

$$y = x — 5.$$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение $xy = -4$:

$$x(x — 5) = -4.$$

Раскроем скобки:

$$x^2 — 5x = -4.$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$x^2 — 5x + 4 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.$$

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

$$x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = 4.$$

Подставим полученные значения $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$ в $y = x — 5$:

Для $x_1 = 1$:

$$y_1 = 1 — 5 = -4.$$

Для $x_2 = 4$:

$$y_2 = 4 — 5 = -1.$$

Ответ: $(1; -4)$ и $(4; -1)$.