ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 552 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $\begin{cases} (x — 2)(y — 2) = -1 \\ x + y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x — y = 4 \\ (x — 1)(y + 1) = -1. \end{cases}$

Указание. а) Представьте первое уравнение в виде $xy — 2(x + y) + 4 = -1$. Далее используйте условие $x + y = 4$.

а) $\begin{cases} (x — 2)(y — 2) = -1 \\ x + y = 4; \end{cases}$

$\begin{cases} xy — 2(x + y) + 4 = -1 & => & \begin{cases} xy — 2 \cdot 4 + 4 + 1 = 0 \\ x + y = 4 \end{cases} & => & \begin{cases} xy — 3 = 0 \\ y = 4 — x \end{cases}; \end{cases}$

$x(4 — x) — 3 = 0;$

$4x — x^2 — 3 = 0 \quad | : (-1);$

$x^2 — 4x + 3 = 0;$

$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4,$ тогда:

$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;$

$y_1 = 4 — 1 = 3$ и $y_2 = 4 — 3 = 1;$

Ответ: $(1; 3)$ и $(3; 1).$

б) $\begin{cases} x — y = 4 \\ (x — 1)(y + 1) = -1; \end{cases}$

$\begin{cases} x — y = 4 \\ xy + (x — y) — 1 = -1 & => & \begin{cases} x — y = 4 \\ xy + 4 — 1 + 1 = 0 \end{cases} & => & \begin{cases} xy + 4 = 0 \\ y = x — 4 \end{cases}; \end{cases}$

$x(x — 4) + 4 = 0;$

$x^2 — 4x + 4 = 0;$

$(x — 2)^2 = 0;$

$x — 2 = 0,$ отсюда $x = 2;$

$y = 2 — 4 = -2;$

Ответ: $(2; -2).$

а) $\begin{cases} (x — 2)(y — 2) = -1 \\ x + y = 4; \end{cases}$

Раскроем первое уравнение $(x — 2)(y — 2) = -1$ с использованием распределительного закона:

$$xy — 2x — 2y + 4 = -1.$$

Теперь перенесем все числа в одну сторону:

$$xy — 2x — 2y + 4 + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad xy — 2x — 2y + 5 = 0.$$

Используем второе уравнение $x + y = 4$, подставив $x + y = 4$ в уравнение:

$$xy — 2(x + y) + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad xy — 2 \cdot 4 + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad xy — 8 + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad xy — 3 = 0.$$

Таким образом, получаем уравнение:

$$xy = 3.$$

Из второго уравнения $x + y = 4$, выражаем $y$ через $x$:

$$y = 4 — x.$$

Теперь подставим это выражение в уравнение $xy = 3$:

$$x(4 — x) = 3 \quad \Rightarrow \quad 4x — x^2 = 3.$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$-x^2 + 4x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 4x + 3 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение с использованием дискриминанта $D$:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4.$$

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

$$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3.$$

Подставим полученные значения $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$ в $y = 4 — x$:

Для $x_1 = 1$:

$$y_1 = 4 — 1 = 3.$$

Для $x_2 = 3$:

$$y_2 = 4 — 3 = 1.$$

Ответ: $(1; 3)$ и $(3; 1)$.

б) $\begin{cases} x — y = 4 \\ (x — 1)(y + 1) = -1; \end{cases}$

Раскроем второе уравнение $(x — 1)(y + 1) = -1$:

$$xy + x — y — 1 = -1.$$

Преобразуем:

$$xy + x — y = 0.$$

Используем первое уравнение $x — y = 4$, подставив $x = y + 4$ в уравнение $xy + x — y = 0$:

$$(y + 4)y + (y + 4) — y = 0.$$

Раскрываем скобки:

$$y^2 + 4y + y + 4 — y = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 + 4y + 4 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 — 16 = 0.$$

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть один корень:

$$y = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2.$$

Подставим $y = -2$ в $x = y + 4$:

$$x = -2 + 4 = 2.$$

Ответ: $(2; -2)$.