ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 551 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений (550–553).

а) $\begin{cases} (x — 3y)(x + 4) = 0 \\ x — 5y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x + 4y)(x — 3) = 0 \\ x + 3y = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x — 1)(y + 4) = 0 \\ y^2 + xy — 2 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (x + 2)(y — 1) = 0 \\ x^2 — xy — 12 = 0. \end{cases}$$\begin{cases} (x^2 — y^2)(x — y) = 20 \\ x + y = 5. \end{cases}$

а) $\begin{cases} (x — 3y)(x + 4) = 0 \\ x — 5y = 1; \end{cases}$

$x — 3y = 0,$ отсюда $x = 3y;$

$3y — 5y = 1;$

$-2y = 1,$ отсюда $y = -0.5;$

$x = 3 \cdot (-0.5) = -1.5;$

$x + 4 = 0,$ отсюда $x = -4;$

$-4 — 5y = 1;$

$-5y = 1 + 4;$

$-5y = 5,$ отсюда $y = -1;$

Ответ: $(-1.5; -0.5)$ и $(-4; -1).$

б) $\begin{cases} (x + 4y)(x — 3) = 0 \\ x + 3y = 1; \end{cases}$

$x + 4y = 0,$ отсюда $x = -4y;$

$-4y + 3y = 1;$

$-y = 1,$ отсюда $y = -1;$

$x = -4 \cdot (-1) = 4;$

$x — 3 = 0,$ отсюда $x = 3;$

$3 + 3y = 1;$

$3y = 1 — 3;$

$3y = -2,$ отсюда $y = -\frac{2}{3};$

Ответ: $(4; -1)$ и $\left(3; -\frac{2}{3}\right).$

в) $\begin{cases} (x — 1)(y + 4) = 0 \\ y^2 + xy — 2 = 0; \end{cases}$

$x — 1 = 0,$ отсюда $x = 1;$

$y^2 + y — 2 = 0;$

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9,$ тогда:

$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$ и $y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$

$y + 4 = 0,$ отсюда $y = -4;$

$(-4)^2 — 4x — 2 = 0;$

$16 — 4x — 2 = 0;$

$4x = 16 — 2;$

$4x = 14,$ отсюда $x = 3.5;$

Ответ: $(1; -2),$ $(1; 1)$ и $(3.5; -4).$

г) $\begin{cases} (x + 2)(y — 1) = 0 \\ x^2 — xy — 12 = 0; \end{cases}$

$x + 2 = 0,$ отсюда $x = -2;$

$(-2)^2 — (-2)y — 12 = 0;$

$4 + 2y — 12 = 0;$

$2y = 12 — 4;$

$2y = 8,$ отсюда $y = 4;$

$y — 1 = 0,$ отсюда $y = 1;$

$x^2 — x — 12 = 0;$

$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,$ тогда:

$x_1 = \frac{1 — 7}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4;$

Ответ: $(-2; 4),$ $(-3; 1)$ и $(4; 1).$

а) $\begin{cases} (x — 3y)(x + 4) = 0 \\ x — 5y = 1; \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение $(x — 3y)(x + 4) = 0$. Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас два возможных случая:

• $x — 3y = 0$, отсюда $x = 3y$.
• $x + 4 = 0$, отсюда $x = -4$.

Рассмотрим каждый из них.

Если $x = 3y$, подставим это в уравнение $x — 5y = 1$:

$$3y-5y=1,$$

$$3y — 5y = 1,$$ $$-2y=1,$$

$$-2y = 1,$$ $$y = -\frac{1}{2}.$$

Теперь подставим $y = -\frac{1}{2}$ в $x = 3y$:

$$x = 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{3}{2}.$$

Таким образом, первое решение: $x = -\frac{3}{2}, y = -\frac{1}{2}$.

Если $x = -4$, подставим это в уравнение $x — 5y = 1$:

$$-4-5y=1,$$

$$-4 — 5y = 1,$$ $$-5y=1+4,$$

$$-5y = 1 + 4,$$ $$-5y=5,$$

$$-5y = 5,$$ $$y = -1.$$

Таким образом, второе решение: $x = -4, y = -1$.

Ответ: $\left( -\frac{3}{2}; -\frac{1}{2} \right)$ и $(-4; -1)$.

б) $\begin{cases} (x + 4y)(x — 3) = 0 \\ x + 3y = 1; \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение $(x + 4y)(x — 3) = 0$. Это произведение также равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас два возможных случая:

• $x + 4y = 0$, отсюда $x = -4y$.
• $x — 3 = 0$, отсюда $x = 3$.

Рассмотрим каждый из них.

Если $x = -4y$, подставим это в уравнение $x + 3y = 1$:

$$-4y+3y=1,$$

$$-4y + 3y = 1,$$ $$-y=1,$$

$$-y = 1,$$ $$y = -1.$$

Теперь подставим $y = -1$ в $x = -4y$:

$$x = -4 \cdot (-1) = 4.$$

Таким образом, первое решение: $x = 4, y = -1$.

Если $x = 3$, подставим это в уравнение $x + 3y = 1$:

$$3+3y=1,$$

$$3 + 3y = 1,$$ $$3y=1-3,$$

$$3y = 1 — 3,$$ $$3y=-2,$$

$$3y = -2,$$ $$y = -\frac{2}{3}.$$

Таким образом, второе решение: $x = 3, y = -\frac{2}{3}$.

Ответ: $(4; -1)$ и $\left( 3; -\frac{2}{3} \right)$.

в) $\begin{cases} (x — 1)(y + 4) = 0 \\ y^2 + xy — 2 = 0; \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение $(x — 1)(y + 4) = 0$. Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас два возможных случая:

• $x — 1 = 0$, отсюда $x = 1$.
• $y + 4 = 0$, отсюда $y = -4$.

Рассмотрим каждый из них.

Если $x = 1$, подставим это в уравнение $y^2 + xy — 2 = 0$:

$$y^2 + 1 \cdot y — 2 = 0,$$ $$y^2 + y — 2 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.$$

Таким образом, корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1.$$

Значит, для $x = 1$ возможны два значения для $y$: $y = -2$ и $y = 1$.

Если $y = -4$, подставим это в уравнение $y^2 + xy — 2 = 0$:

$$(-4{)}^2+x\cdot (-4)-2=0,$$

$$(-4)^2 + x \cdot (-4) — 2 = 0,$$ $$16-4x-2=0,$$

$$16 — 4x — 2 = 0,$$ $$14-4x=0,$$

$$14 — 4x = 0,$$ $$4x=14,$$

$$4x = 14,$$ $$x = 3.5.$$

Таким образом, для $y = -4$, $x = 3.5$.

Ответ: $(1; -2)$, $(1; 1)$ и $(3.5; -4)$.

г) $\begin{cases} (x + 2)(y — 1) = 0 \\ x^2 — xy — 12 = 0; \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение $(x + 2)(y — 1) = 0$. Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас два возможных случая:

• $x + 2 = 0$, отсюда $x = -2$.
• $y — 1 = 0$, отсюда $y = 1$.

Рассмотрим каждый из них.

Если $x = -2$, подставим это в уравнение $x^2 — xy — 12 = 0$:

$$(-2{)}^2-(-2)\cdot y-12=0,$$

$$(-2)^2 — (-2) \cdot y — 12 = 0,$$ $$4+2y-12=0,$$

$$4 + 2y — 12 = 0,$$ $$2y-8=0,$$

$$2y — 8 = 0,$$ $$2y=8,$$

$$2y = 8,$$ $$y = 4.$$

Таким образом, первое решение: $x = -2, y = 4$.

Если $y = 1$, подставим это в уравнение $x^2 — xy — 12 = 0$:

$$x^2 — x \cdot 1 — 12 = 0,$$ $$x^2 — x — 12 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.$$

Таким образом, корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-1) — 7}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-(-1) + 7}{2} = 4.$$

Значит, для $y = 1$ возможны два значения для $x$: $x = -3$ и $x = 4$.

Ответ: $(-2; 4)$, $(-3; 1)$ и $(4; 1)$.