ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 550 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите систему уравнений (550–553).

а) $\begin{cases} (x^2 — y^2)(x + y) = 32 \\ x — y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x^2 — y^2)(x — y) = 20 \\ x + y = 5. \end{cases}$

а) $\begin{cases} (x^2 — y^2)(x + y) = 32 \\ x — y = 2; \end{cases}$

$\begin{cases} (x — y)(x + y)^2 = 32 & => & \begin{cases} 2(x + y)^2 = 32 \\ x — y = 2 \end{cases} & => & \begin{cases} (x + y)^2 = 16 \\ y = x — 2 \end{cases}; \end{cases}$

$(x + x — 2)^2 = 16;$

$(2x — 2)^2 = 16;$

$4x^2 — 8x + 4 — 16 = 0;$

$4x^2 — 8x — 12 = 0 \quad | : 4;$

$x^2 — 2x — 3 = 0;$

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,$ тогда:

$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$

$y_1 = -1 — 2 = -3$ и $y_2 = 3 — 2 = 1;$

Ответ: $(-1; -3)$ и $(3; 1).$

б) $\begin{cases} (x^2 — y^2)(x — y) = 20 \\ x + y = 5; \end{cases}$

$\begin{cases} (x + y)(x — y)^2 = 20 & => & \begin{cases} 5(x — y)^2 = 20 \\ x + y = 5 \end{cases} & => & \begin{cases} (x — y)^2 = 4 \\ y = 5 — x \end{cases}; \end{cases}$

$(x — 5 + x)^2 = 4;$

$(2x — 5)^2 = 4;$

$4x^2 — 20x + 25 — 4 = 0;$

$4x^2 — 20x + 21 = 0;$

$D = 20^2 — 4 \cdot 4 \cdot 21 = 400 — 336 = 64,$ тогда:

$x_1 = \frac{20 — 8}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = 1.5$ и $x_2 = \frac{20 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{28}{12} = 3.5;$

$y_1 = 5 — 1.5 = 3.5$ и $y_2 = 5 — 3.5 = 1.5;$

Ответ: $(1.5; 3.5)$ и $(3.5; 1.5).$

а) $\begin{cases} (x^2 — y^2)(x + y) = 32 \\ x — y = 2; \end{cases}$

Перепишем первое уравнение $(x^2 — y^2)(x + y) = 32$ с использованием формулы разности квадратов:

$$(x^2 — y^2) = (x — y)(x + y),$$

так что уравнение принимает вид:

$$(x — y)(x + y)(x + y) = 32.$$

Поскольку $x — y = 2$, подставим это значение:

$$2(x + y)^2 = 32.$$

Делим обе части на 2:

$$(x + y)^2 = 16.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$x + y = 4 \quad \text{или} \quad x + y = -4.$$

Рассмотрим оба случая.

Из второго уравнения $x — y = 2$, можно выразить $y$ через $x$:

$$y = x — 2.$$

Подставим это в уравнение $x + y = 4$:

$$x + (x — 2) = 4.$$

Упростим:

$$2x-2=4,$$

$$2x — 2 = 4,$$ $$2x=6,$$

$$2x = 6,$$ $$x = 3.$$

Теперь подставим $x = 3$ в $y = x — 2$:

$$y = 3 — 2 = 1.$$

Таким образом, $x = 3$, $y = 1$.

Рассмотрим второй случай $x + y = -4$. Подставим $y = x — 2$ в это уравнение:

$$x+(x-2)=-4,$$

$$x + (x — 2) = -4,$$ $$2x-2=-4,$$

$$2x — 2 = -4,$$ $$2x=-2,$$

$$2x = -2,$$ $$x = -1.$$

Теперь подставим $x = -1$ в $y = x — 2$:

$$y = -1 — 2 = -3.$$

Таким образом, второй возможный вариант: $x = -1$, $y = -3$.

Ответ: $(-1; -3)$ и $(3; 1)$.

б) $\begin{cases} (x^2 — y^2)(x — y) = 20 \\ x + y = 5; \end{cases}$

Перепишем первое уравнение $(x^2 — y^2)(x — y) = 20$ с использованием формулы разности квадратов:

$$(x^2 — y^2) = (x — y)(x + y),$$

так что уравнение принимает вид:

$$(x — y)(x + y)(x — y) = 20.$$

Подставим $x + y = 5$:

$$(x — y) \cdot 5 \cdot (x — y) = 20,$$

или

$$5(x — y)^2 = 20.$$

Делим обе части на 5:

$$(x — y)^2 = 4.$$

Извлекаем квадратный корень:

$$x — y = 2 \quad \text{или} \quad x — y = -2.$$

Рассмотрим оба случая.

Из второго уравнения $x + y = 5$, можно выразить $y$ через $x$:

$$y = 5 — x.$$

Подставим это в уравнение $x — y = 2$:

$$x-(5-x)=2,$$

$$x — (5 — x) = 2,$$ $$x-5+x=2,$$

$$x — 5 + x = 2,$$ $$2x=7,$$

$$2x = 7,$$ $$x = 3.5.$$

Теперь подставим $x = 3.5$ в $y = 5 — x$:

$$y = 5 — 3.5 = 1.5.$$

Таким образом, $x = 3.5$, $y = 1.5$.

Рассмотрим второй случай $x — y = -2$. Подставим $y = 5 — x$ в это уравнение:

$$x-(5-x)=-2,$$

$$x — (5 — x) = -2,$$ $$x-5+x=-2,$$

$$x — 5 + x = -2,$$ $$2x=3,$$

$$2x = 3,$$ $$x = 1.5.$$

Теперь подставим $x = 1.5$ в $y = 5 — x$:

$$y = 5 — 1.5 = 3.5.$$

Таким образом, второй возможный вариант: $x = 1.5$, $y = 3.5$.

Ответ: $(1.5; 3.5)$ и $(3.5; 1.5)$.