ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 549 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Николай ездит с биостанции за почтой на велосипеде. Дорога от биостанции до почты идёт сначала 4 км в гору, а затем 8 км под гору. При подъёме скорость Николая в 2 раза меньше, чем при спуске. Найдите скорость, с которой Николай едет на каждом из этих участков, если его средняя скорость на пути к почте на 2,4 км/ч больше, чем на обратном пути.

1) Пусть $x$ км/ч — скорость Николая при подъеме, тогда:

$2x$ км/ч — скорость Николая при спуске;

$\frac{4}{x}$ ч — время, затраченное на подъем на пути к почте;

$\frac{8}{2x}$ ч — время, затраченное на спуск на пути к почте;

$\frac{8}{x}$ ч — время, затраченное на подъем на пути к биостанции;

$\frac{4}{2x}$ ч — время, затраченное на спуск на пути к биостанции;

2) Средняя скорость Николая на пути к почте:

$(4 + 8) : \left( \frac{4}{x} + \frac{8}{2x} \right) = 12 : \left( \frac{4}{x} + \frac{4}{x} \right) = 12 : \frac{8}{x} = \frac{12x}{8} = \frac{3x}{2}$ (км/ч);

3) Средняя скорость Николая на пути к биостанции:

$(4 + 8) : \left( \frac{8}{x} + \frac{4}{2x} \right) = 12 : \left( \frac{8}{x} + \frac{2}{x} \right) = 12 : \frac{10}{x} = \frac{12x}{10} = \frac{6x}{5}$ (км/ч);

4) Составим и решим уравнение:

$\frac{3x}{2} = \frac{6x}{5} + 2.4 \quad | \cdot 10;$

$3x \cdot 5 = 6x \cdot 2 + 2.4 \cdot 10;$

$15x = 12x + 24;$

$15x — 12x = 24;$

$3x = 24,$ отсюда $x = 8$ (км/ч);

5) Средняя скорость Николая при спуске:

$2 \cdot 8 = 16$ (км/ч);

Ответ: $8$ км/ч; $16$ км/ч.

Пусть $x$ км/ч — скорость Николая при подъеме, тогда:

$2x$ км/ч — скорость Николая при спуске. Мы предполагаем, что при подъеме Николай движется с некоторой скоростью $x$, а при спуске его скорость увеличивается в 2 раза, то есть $2x$.

$\frac{4}{x}$ ч — время, затраченное на подъем на пути к почте. Время, которое Николай тратит на преодоление пути, рассчитывается по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s = 4$ км — расстояние до почты, а $v = x$ км/ч — скорость Николая при подъеме. Таким образом, время на подъем на пути к почте будет равно $t = \frac{4}{x}$ ч.

$\frac{8}{2x}$ ч — время, затраченное на спуск на пути к почте. Аналогично, для времени спуска на пути к почте, когда Николай движется со скоростью $2x$, время будет равно $t = \frac{s}{v} = \frac{8}{2x}$ ч, где $s = 8$ км — это расстояние, которое Николай преодолевает при спуске, а $v = 2x$ км/ч — его скорость при спуске.

$\frac{8}{x}$ ч — время, затраченное на подъем на пути к биостанции. Путь к биостанции такой же, как и к почте, но Николай снова двигается со скоростью $x$ км/ч, и время на подъем равно $t = \frac{8}{x}$ ч.

$\frac{4}{2x}$ ч — время, затраченное на спуск на пути к биостанции. Для спуска путь снова 4 км, а скорость Николая при спуске равна $2x$, и время на спуск будет равно $t = \frac{4}{2x}$ ч.

Средняя скорость Николая на пути к почте:

Средняя скорость на пути к почте равна общему расстоянию, разделенному на общее время, затраченное на путь. Общее расстояние на пути к почте — это сумма пути на подъем и пути на спуск, то есть $4 + 8 = 12$ км. Общее время будет равно сумме времени на подъем и времени на спуск:

$$t_{\text{общ}} = \frac{4}{x} + \frac{8}{2x}.$$

Теперь среднюю скорость можно выразить как:

$$v_{\text{сред}} = \frac{12}{\frac{4}{x} + \frac{8}{2x}}.$$

Упростим выражение в знаменателе:

$$\frac{8}{2x} = \frac{4}{x},$$

и тогда:

$$v_{\text{сред}} = \frac{12}{\frac{4}{x} + \frac{4}{x}} = \frac{12}{\frac{8}{x}} = \frac{12x}{8} = \frac{3x}{2}.$$

Это и есть средняя скорость Николая на пути к почте, которая равна $\frac{3x}{2}$ км/ч.

Средняя скорость Николая на пути к биостанции:

Средняя скорость на пути к биостанции также вычисляется по аналогичной формуле:

$$v_{\text{сред}} = \frac{12}{\frac{8}{x} + \frac{4}{2x}}.$$

Упростим выражение в знаменателе:

$$\frac{4}{2x} = \frac{2}{x},$$

и тогда:

$$v_{\text{сред}} = \frac{12}{\frac{8}{x} + \frac{2}{x}} = \frac{12}{\frac{10}{x}} = \frac{12x}{10} = \frac{6x}{5}.$$

Это и есть средняя скорость Николая на пути к биостанции, которая равна $\frac{6x}{5}$ км/ч.

Составим и решим уравнение:

Теперь составим уравнение, при котором средняя скорость на пути к почте и на пути к биостанции будет одинаковой, то есть:

$$\frac{3x}{2} = \frac{6x}{5} + 2.4.$$

Для упрощения умножим обе части на 10, чтобы избавиться от дробей:

$$10 \cdot \frac{3x}{2} = 10 \cdot \left( \frac{6x}{5} + 2.4 \right),$$

получаем:

$$15x = 12x + 24.$$

Теперь переносим все элементы на одну сторону:

$$15x — 12x = 24.$$

Получаем:

$$3x = 24, \quad \text{отсюда} \quad x = 8.$$

Средняя скорость Николая при спуске:

Скорость при спуске равна $2 \cdot x = 2 \cdot 8 = 16$ км/ч.

Ответ: $8$ км/ч; $16$ км/ч.