ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 548 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Туристский маршрут состоит из двух участков: 9 км подъёма и 12 км спуска. При подъёме скорость туристов на 3 км/ч меньше, чем при спуске, а их средняя скорость на всём маршруте равна 4,2 км/ч. Чему равна скорость туристов при спуске?

1) Пусть $x$ км/ч — скорость туриста при подъеме, тогда:

$x + 3$ км/ч — скорость туриста при спуске;

$\frac{9}{x}$ ч — время, затраченное на подъем;

$\frac{12}{x + 3}$ ч — время, затраченное на спуск;

2) Средняя скорость туриста на всем пути:

$(9 + 12) : \left( \frac{9}{x} + \frac{12}{x + 3} \right) = 21 : \frac{9(x + 3) + 12x}{x(x + 3)} = \frac{21x \cdot (x + 3)}{9(x + 3) + 12x}$ (ч);

3) Составим и решим уравнение:

$\frac{21x \cdot (x + 3)}{9(x + 3) + 12x} = 4.2;$

$\frac{21x \cdot (x + 3)}{9x + 27 + 12x} = 4.2 \quad | : 4.2;$

$\frac{5x \cdot (x + 3)}{21x + 27} = 1 \quad | \cdot (21x + 27);$

$5x \cdot (x + 3) = 21x + 27;$

$5x^2 + 15x — 21x — 27 = 0;$

$5x^2 — 6x — 27 = 0;$

$D = 6^2 + 4 \cdot 5 \cdot 27 = 36 + 540 = 576 = 24^2,$ тогда:

$x_1 = \frac{6 — 24}{2 \cdot 5} = -1.8$ и $x_2 = \frac{6 + 24}{2 \cdot 5} = 3;$

4) Скорость не может быть отрицательной:

$x \neq -1.8,$ значит $x = 3$ (км/ч);

5) Скорость движения туриста при спуске:

$3 + 3 = 6$ (км/ч);

Ответ: $6$ км/ч.

Пусть $x$ км/ч — скорость туриста при подъеме, тогда:

$x + 3$ км/ч — скорость туриста при спуске. Это значит, что при спуске турист движется быстрее на 3 км/ч, чем при подъеме, так как скорость при спуске увеличивается на 3 км/ч.

$\frac{9}{x}$ ч — время, затраченное на подъем. Это время можно вычислить по формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s = 9$ км — расстояние, которое турист преодолевает при подъеме, а $v = x$ км/ч — его скорость при подъеме. Таким образом, время, которое он затрачил на подъем, равно $\frac{9}{x}$ ч.

$\frac{12}{x + 3}$ ч — время, затраченное на спуск. Аналогично, время, затраченное на спуск, можно вычислить по той же формуле $t = \frac{s}{v}$, где $s = 12$ км — расстояние, которое турист преодолевает при спуске, а $v = x + 3$ км/ч — его скорость при спуске. Таким образом, время, которое он затрачил на спуск, равно $\frac{12}{x + 3}$ ч.

Средняя скорость туриста на всем пути:

Средняя скорость на всем пути вычисляется как общее расстояние, деленное на общее время. Общее расстояние равно $9 + 12 = 21$ км. Общее время на преодоление этого пути будет равно сумме времени, затраченного на подъем и время, затраченное на спуск:

$$\frac{9}{x} + \frac{12}{x + 3}.$$

Теперь выражаем среднюю скорость:

$$\frac{21}{\frac{9}{x} + \frac{12}{x + 3}} = \frac{21}{\frac{9(x + 3) + 12x}{x(x + 3)}} = \frac{21x \cdot (x + 3)}{9(x + 3) + 12x}.$$

Упростим выражение:

$$\frac{21x \cdot (x + 3)}{9x + 27 + 12x} = \frac{21x \cdot (x + 3)}{21x + 27}.$$

Составим и решим уравнение:

Уравнение для средней скорости:

$$\frac{21x \cdot (x + 3)}{21x + 27} = 4.2.$$

Теперь умножим обе части на $21x + 27$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$21x \cdot (x + 3) = 4.2 \cdot (21x + 27).$$

Раскроем скобки:

$$21x \cdot (x + 3) = 4.2 \cdot 21x + 4.2 \cdot 27.$$

Упрощаем:

$$21x^2 + 63x = 88.2x + 113.4.$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$21x^2 + 63x — 88.2x — 113.4 = 0.$$

Упрощаем:

$$21x^2 — 25.2x — 113.4 = 0.$$

Делим обе части на 21:

$$x^2 — 1.2x — 5.4 = 0.$$

Рассчитаем дискриминант для уравнения $x^2 — 1.2x — 5.4 = 0$:

Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Подставляем значения $a = 1$, $b = -1.2$, и $c = -5.4$:

$$D = (-1.2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5.4) = 1.44 + 21.6 = 23.04.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sqrt{23.04} \approx 4.8.$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-1.2)-4.8}{2\cdot 1}=\frac{1.2-4.8}{2}=\frac{-3.6}{2}=-1.8,$$

$$x_1 = \frac{-(-1.2) — 4.8}{2 \cdot 1} = \frac{1.2 — 4.8}{2} = \frac{-3.6}{2} = -1.8,$$ $$x_2 = \frac{-(-1.2) + 4.8}{2 \cdot 1} = \frac{1.2 + 4.8}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому отклоняем значение $x_1 = -1.8$, значит $x = 3$ (км/ч).

Скорость движения туриста при спуске:

Скорость при спуске равна $x + 3 = 3 + 3 = 6$ км/ч.

Ответ: $6$ км/ч.