ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 547 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал велосипедист, а за полчаса до него из пункта $B$ в пункт $A$ вышел турист. Они встретились в пункте $C$, расположенном на $14$ км ближе к пункту $B$, чем к пункту $A$. Велосипедист прибыл в пункт $B$ через $\frac{3}{5}$ ч после встречи, а турист прибыл в пункт $A$ через $5$ ч после встречи. Каково расстояние от пункта $A$ до места встречи? С какой скоростью шёл турист?

1) Пусть $x$ км — расстояние от пункта $A$ до пункта $C$, тогда:

$(x-14)$ км — расстояние от пункта $C$ до пункта $B$;

$(x-14):\frac{3}{5}=\frac{5(x-14)}{3}$ км/ч — скорость велосипедиста;

$\frac{x}{5}$ км/ч — скорость туриста;

2) Время, через которое встретились велосипедист и турист:

$x:\frac{5(x-14)}{3}=\frac{3x}{5(x-14)}$ ч — для велосипедиста;

$(x-14):\frac{x}{5}+\frac{1}{2}=\frac{5(x-14)}{x}+\frac{1}{2}$ ч — для туриста;

3) Составим и решим уравнение:

$\frac{3x}{5(x-14)}=\frac{5(x-14)}{x}+\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\cdot 10x(x-14);$

$3x\cdot 2x=5\cdot 10\cdot (x-14{)}^2+5x(x-14);$

$6x^2=50(x^2-28x+196)+5x^2-70x;$

$50x^2-1400x+9800+5x^2-6x^2-70x=0;$

$49x^2-1470x+9800=0\mathrm{\mid }:49;$

$x^2-30x+200=0;$

$D={30}^2-4\cdot 200=900-800=100,$ тогда:

$x_1=\frac{30-10}{2}=10$ и $x_2=\frac{30+10}{2}=20;$

4) Расстояние не может быть отрицательным:

$x\mathrm{\ne }10,$ так как в этом случае $x-14<0,$ значит $x=20$ (км);

5) Скорость движения туриста:

$\frac{20}{5}=4$ (км/ч);

Ответ: $20$ км; $4$ км/ч.

Пусть $x$ км — это расстояние от пункта $A$ до пункта $C$. Тогда расстояние от пункта $C$ до пункта $B$ выражается как $(x-14)$ км, так как всего путь $AB$ на $14$ км длиннее, чем $AC$. Таким образом, отрезок $CB$ равен $(x-14)$ км. Далее определим скорости. Известно, что велосипедист проходит путь $CB$ за $\frac{3}{5}$ часа, значит его скорость равна $\frac{(x-14)}{\frac{3}{5}}=\frac{5(x-14)}{3}$ км/ч. Турист проходит путь $AC$ за $5$ часов, значит его скорость равна $\frac{x}{5}$ км/ч.

Теперь найдём время, через которое они встретятся. Для велосипедиста это время вычисляется как отношение его пути к скорости: $t_1=\frac{x}{\frac{5(x-14)}{3}}=\frac{3x}{5(x-14)}$ ч. Это время показывает, сколько часов потребуется велосипедисту, чтобы проехать навстречу туристу, если они встретились через время $t$. Для туриста аналогично: его путь до встречи равен $(x-14)$ км, а скорость равна $\frac{x}{5}+\frac{1}{2}$ км/ч, так как турист движется и ещё добавлено условие, что он начинает позже на $\frac{1}{2}$ ч. Тогда $t_2=\frac{(x-14)}{\frac{x}{5}+\frac{1}{2}}=\frac{5(x-14)}{x+\frac{1}{2}\cdot 5}=\frac{5(x-14)}{x+\frac{1}{2}}$ ч.

Составляем уравнение, приравнивая времена: $\frac{3x}{5(x-14)}=\frac{5(x-14)}{x+\frac{1}{2}}$. Умножим обе части на $10x(x-14)$, чтобы избавиться от знаменателей: $\frac{3x}{5(x-14)}\cdot10x(x-14)=\frac{5(x-14)}{x+\frac{1}{2}}\cdot10x(x-14)$. После упрощения получаем: $3x\cdot 2x=5\cdot10(x-14)^2+5x(x-14)$. Далее раскроем скобки: $6x^2=50(x^2-28x+196)+5x^2-70x$. Приводим подобные слагаемые: $50x^2-1400x+9800+5x^2-70x-6x^2=0$. Получаем $49x^2-1470x+9800=0$. Разделим уравнение на 49: $x^2-30x+200=0$.

Решим квадратное уравнение $x^2-30x+200=0$. Вычисляем дискриминант: $D=30^2-4\cdot200=900-800=100$. Корень из дискриминанта равен $\sqrt{100}=10$. Тогда $x_1=\frac{30-10}{2}=\frac{20}{2}=10$, $x_2=\frac{30+10}{2}=\frac{40}{2}=20$.

Проверим условия задачи. Так как расстояние $x-14$ не может быть отрицательным, значение $x=10$ отбрасывается, так как тогда $(10-14)=-4<0$. Следовательно, единственно возможное значение $x=20$ км.

Теперь находим скорость движения туриста. Она равна $\frac{x}{5}=\frac{20}{5}=4$ км/ч.

Ответ: $20$ км; $4$ км/ч.